Thin walled I-beam under complex loads: Optimization according to stress constraint

Razmatrana je optimizacija složeno opterećenih tankozidih nosača poprečnih preseka oblika I- profila izloženih savijanju i ograničenoj torziji. Iz opšteg slučaja, kada momenti savijanja deluju oko obe glavne težišne ose istovremeno sa bimomentom, izdvojeni su neki posebni slučajevi koji se razmatraju u zavisnosti od slučaja opterećenja. Problem je redukovan na određivanje minimalne mase, t.j. minimalne površine predloženog oblika poprečnog preseka tankozidog nosača, za data složena opterećenja, materijal i geometrijske karakteristike. Zbog toga je površina poprečnog preseka izabrana za funkciju cilja. Pretpostavlja se da odnos debljine i širine pojedinih delova poprečnog preseka nije konstantan. Uvedeno je naponsko ograničenje. Pri formiranju osnovnog matematičkog modela pošlo se od pretpostavki teorije tankozidih štapova sa jedne strane i osnovnih pretpostavki problema optimalnog projektovanja sa druge. Korišćena je metoda Lagranžovog množitelja. Rezultati analitički dobijenih jednačina za matematički model, numerička rešenja, kao i ušteda mase, izračunati su za tri slučaja opterećenja.Optimization of a thin-walled open section I-beam loaded in a complex way subjected to the bending and to the constrained torsion, is considered. From the general case when bending moments about both principal axes appear simultaneously with the bimoment, some particular cases can be considered depending on the loading case. The problem is reduced to the determination of minimum mass i.e. minimum cross sectional area of structural thin-walled beam elements of proposed shape, for given complex loads, material and geometrical characteristics. That is why the area of the cross section is taken as the objective function. The ratios of thickness and length of the parts of the cross section are assumed to be non constant. The stress constraint is introduced. The starting points during the formulation of the basic mathematical model are the assumptions of the thin-walled beam theory from one side and the basic assumptions of the optimum design from the other. The Lagrange multiplier method is used. Solutions of analitically obtained expressions for the mathematical model, numerical solutions, as well as the saved mass, are calculated for three loading cases

Thin walled I-beam under complex loads: Optimization according to stress constraint

Razmatrana je optimizacija složeno opterećenih tankozidih nosača poprečnih preseka oblika I- profila izloženih savijanju i ograničenoj torziji. Iz opšteg slučaja, kada momenti savijanja deluju oko obe glavne težišne ose istovremeno sa bimomentom, izdvojeni su neki posebni slučajevi koji se razmatraju u zavisnosti od slučaja opterećenja. Problem je redukovan na određivanje minimalne mase, t.j. minimalne površine predloženog oblika poprečnog preseka tankozidog nosača, za data složena opterećenja, materijal i geometrijske karakteristike. Zbog toga je površina poprečnog preseka izabrana za funkciju cilja. Pretpostavlja se da odnos debljine i širine pojedinih delova poprečnog preseka nije konstantan. Uvedeno je naponsko ograničenje. Pri formiranju osnovnog matematičkog modela pošlo se od pretpostavki teorije tankozidih štapova sa jedne strane i osnovnih pretpostavki problema optimalnog projektovanja sa druge. Korišćena je metoda Lagranžovog množitelja. Rezultati analitički dobijenih jednačina za matematički model, numerička rešenja, kao i ušteda mase, izračunati su za tri slučaja opterećenja.Optimization of a thin-walled open section I-beam loaded in a complex way subjected to the bending and to the constrained torsion, is considered. From the general case when bending moments about both principal axes appear simultaneously with the bimoment, some particular cases can be considered depending on the loading case. The problem is reduced to the determination of minimum mass i.e. minimum cross sectional area of structural thin-walled beam elements of proposed shape, for given complex loads, material and geometrical characteristics. That is why the area of the cross section is taken as the objective function. The ratios of thickness and length of the parts of the cross section are assumed to be non constant. The stress constraint is introduced. The starting points during the formulation of the basic mathematical model are the assumptions of the thin-walled beam theory from one side and the basic assumptions of the optimum design from the other. The Lagrange multiplier method is used. Solutions of analitically obtained expressions for the mathematical model, numerical solutions, as well as the saved mass, are calculated for three loading cases

One view to the optimization of thin-walled open sections subjected to constrained torsion

U ovom radu je razmatrana optimizacija tankozidih konzolnih konstrukcionih elemenata otvorenih poprečnih preseka izloženih ograničenoj torziji. Cilj rada je određivanje minimalne mase, tj, određivanje minimalne površine poprečnog preseka tankozidih konstrukcionih elemenata oblika I i U-profila za zadata opterećenja, materijal i geometrijske karakteristike. Zbog toga je za funkciju cilja odabrana površina poprečnog preseka nosača. Za kriterijum ograničenja odabran je kriterijum ograničenja deformacija. Pri formiranju osnovnog matematičkog modela pošlo se od pretpostavki teorije tankozidih štapova sa jedne strane i osnovnih pretpostavki problema optimalnog projektovanja sa druge. Primenom metode Lagranžovog množitelja izvedene su jednačine čija rešenja predstavljaju optimalne odnose dimenzija poprečnog preseka izabranog oblika. Dobijeni rezultati su iskorišćeni pri numeričkom proračunu primenom Metode konačnih elemenata.One approach to the optimization of thin-walled open section cantilever beams subjected to constrained torsion is considered. The aim of this paper is to determine the minimum mass i.e. minimum cross- sectional area of structural thin-walled I-beam and Channel section beam elements for given loads material and geometrical characteristics. The area of the cross-section is assumed to be the objective function. The displacement constraints are introduced. The starting points during the formulation of the basic mathematical model are the assumptions of the thin-walled beam theory from one side and the basic assumptions of the optimum design from the other. Applying the Lagrange multiplier method, the equations of which the solutions represent the optimal values of the ratios of the parts of the chosen cross sections are derived. The obtained results are used for numerical calculation applying the Finite Element Method

Nonlinear Approach to Thin-Walled Beams with a Symmetrical Open Section

The principle of virtual work is applied to thin-walled beams with a cross-section with the middle line of an arbitrary curvilinear shape and with a continuously varying thickness. Six equilibrium equations and a seventh one related to the constrained torsion are derived taking into account general sectorial coordinates. The obtained relations are applied to structural elements with one longitudinal plane of symmetry with the shape similar to real turbine blades. All geometrical characteristics are calculated for one structural element with a modified cross-section shape. It has been shown that it is not recommendable to neglect the influence of secondary effects

One view to the optimization of thin-walled open sections subjected to constrained torsion

U ovom radu je razmatrana optimizacija tankozidih konzolnih konstrukcionih elemenata otvorenih poprečnih preseka izloženih ograničenoj torziji. Cilj rada je određivanje minimalne mase, tj, određivanje minimalne površine poprečnog preseka tankozidih konstrukcionih elemenata oblika I i U-profila za zadata opterećenja, materijal i geometrijske karakteristike. Zbog toga je za funkciju cilja odabrana površina poprečnog preseka nosača. Za kriterijum ograničenja odabran je kriterijum ograničenja deformacija. Pri formiranju osnovnog matematičkog modela pošlo se od pretpostavki teorije tankozidih štapova sa jedne strane i osnovnih pretpostavki problema optimalnog projektovanja sa druge. Primenom metode Lagranžovog množitelja izvedene su jednačine čija rešenja predstavljaju optimalne odnose dimenzija poprečnog preseka izabranog oblika. Dobijeni rezultati su iskorišćeni pri numeričkom proračunu primenom Metode konačnih elemenata.One approach to the optimization of thin-walled open section cantilever beams subjected to constrained torsion is considered. The aim of this paper is to determine the minimum mass i.e. minimum cross- sectional area of structural thin-walled I-beam and Channel section beam elements for given loads material and geometrical characteristics. The area of the cross-section is assumed to be the objective function. The displacement constraints are introduced. The starting points during the formulation of the basic mathematical model are the assumptions of the thin-walled beam theory from one side and the basic assumptions of the optimum design from the other. Applying the Lagrange multiplier method, the equations of which the solutions represent the optimal values of the ratios of the parts of the chosen cross sections are derived. The obtained results are used for numerical calculation applying the Finite Element Method

Torsional analysis of open section thin-walled beams

Osnovni cilj ovog rada je da prikaže jedan pristup optimizaciji tankozidnih I, Z i U konzolnih konstrukcionih elemenata otvorenih poprečnih preseka izloženih ograničenoj torziji. Za kriterijum ograničenja odabran je kriterijum ograničenja deformacija: dozvoljeni ugao uvijanja i dozvoljene ugao uvijanja po jedinici dužine. Za funkciju cilja odabrana je površina poprečnog preseka nosača. Primenom metode Lagranžovog množitelja izvedene su jednačine čija rešenja predstavljaju optimalne odnose dimenzija poprečnog preseka izabranog oblika.The main purpose of this paper is to present one approach to the optimization of thin-walled I, Z and channel-section beams subjected to constrained torsion. The displacement constraints are introduced: allowable angle of twist and allowable angle of twist per unit length. The area of the cross-section is assumed to be the objective function. Applying the Lagrange multiplier method, the equations whose solutions represent the optimal values of the ratios of the parts of the chosen cross-sections are derived

An approach to the optimization of thin-walled cantilever open section beams

U ovom radu je razmatran jedan pristup optimizaciji tankozidih konzolnih konstrukcionih elemenata otvorenih poprečnih preseka izloženih savijanju i ograničenoj torziji. Problem je redukovan na određivanje minimalne mase t.j. minimalne površine konstrukcionih tankozidih elemenata oblika I i U-profila za zadata opterećenja, materijal i geometrijske karakteristike. Površina poprečnog preseka nosaca je izabrana za funkciju cilja. Uvedeno je naponsko ograničenje. Primenom metode Lagranžovog množitelja formirane su jednačine čija rešenja predstavljaju optimalne odnose dimenzija poprečnog preseka izabranog oblika. Dobijeni rezultati su iskorišćeni pri numeričkom proračunu.An approach to the optimization of the thin-walled cantilever open section beams subjected to the bending and to the constrained torsion is considered. The problem is reduced to the determination of minimum mass, i.e. minimum cross-sectional area of structural thin-walled I-beam and channel-section beam elements for given loads, material and geometrical characteristics. The area of the cross-section is assumed to be the objective function. The stress constraints are introduced. Applying the Lagrange multiplier method the equations, whose solutions represent the optimal values of the ratios of the parts of the chosen cross-section, are formed. The obtained results are used for numerical calculation

Consideration of the horizontal inertial effects at cantilever beams with nonuniform open sections

U ovom radu se analizira uticaj horizontalnih inercijalnih sila na konzolne nosače sa promenljivim poprečnim presekom oblika I-profila. Razmatra se varijacija preseka koja uključuje promenu visine preseka, kao najpraktičnije varijante pri projektovanju nosača dizalica. Zbog složenosti postavljenog problema koji uključuje problem ograničenog uvijanja, statički odzivi su dobijeni numeričkim metodama. Modeli nosača su usvojeni prema poznatim konstrukcionom preporukama za varijaciju nosača, sa ciljem praktične primene kod konstrukcija konzolnih dizalica. Poređenje rezultata je izvršeno sa poznatim vrednostima efekata uvojnog savijanja kod nosača uniformnog poprečnog preseka. Sa aspekta postavljenog problema i izabranih modela nosača, prikazane su prednosti korišćenja nosača sa promenljivim poprečnim presekom.The problem of torsion due to horizontal inertial effects is considered at cantilever beam with variable I-section. Linear variation of height is concerned as most practical one for the design of cantilever beams. The solution for adopted cases of beams is obtained numerically, according to the complexity of the given ordinary differential equation which deals with pure torsion along with warping torsion. The models are based on known tailor-made beams with possibility for application in design of jib cranes, as practical aspect of this work. The comparison of results is done with uniform cantilever beam models which can be used as one way for verification of stress state of variable cantilever beams subjected to bending with torsion. The obtained results show corresponding advantages of usage of variable sections

Stress constraints applied to the optimization of a thin-walled Z-beam

Razmatran je jedan pristup optimizaciji tankozidih otvorenih poprečnih preseka oblika Z - profila, izloženih savijanju i ograničenoj torziji. Za data opterećenja, materijal i geometrijske karakteristike, problem se svodi na određivanje minimalne mase, odnosno minimalne površine poprečnog preseka konstruktivnih tankozidih poprečnih preseka izabranog oblika. Površina poprečnog preseka je izabrana za funkciju cilja. Uvedena su naponska ograničenja. Primenjuje se Metoda Lagranžovog množitelja. Rezultati analitički dobijenih jednačina za matematički model, numerička rešenja, kao i ušteda u masi, izračunati su za tri slučaja opterećenja. Neki rezultati su provereni primenom programa COSMOS.One approach to the optimization of a thin-walled open section Z-beam subjected to the bending and to the constrained torsion is considered. For given loads, material and geometrical characteristics, the problem is reduced to the determination of minimum mass i.e. minimum crosssectional area of structural thin-walled beam of the chosen shape. The area of the cross-section is assumed to be the objective function. The stress constraints are introduced. The Lagrange multiplier method is applied. Solutions of analitically obtained expressions for the mathematical model, numerical solutions, as well as the saved mass, are calculated for three loading cases

Stress constraints applied to the optimization of a thin-walled Z-beam

Razmatran je jedan pristup optimizaciji tankozidih otvorenih poprečnih preseka oblika Z - profila, izloženih savijanju i ograničenoj torziji. Za data opterećenja, materijal i geometrijske karakteristike, problem se svodi na određivanje minimalne mase, odnosno minimalne površine poprečnog preseka konstruktivnih tankozidih poprečnih preseka izabranog oblika. Površina poprečnog preseka je izabrana za funkciju cilja. Uvedena su naponska ograničenja. Primenjuje se Metoda Lagranžovog množitelja. Rezultati analitički dobijenih jednačina za matematički model, numerička rešenja, kao i ušteda u masi, izračunati su za tri slučaja opterećenja. Neki rezultati su provereni primenom programa COSMOS.One approach to the optimization of a thin-walled open section Z-beam subjected to the bending and to the constrained torsion is considered. For given loads, material and geometrical characteristics, the problem is reduced to the determination of minimum mass i.e. minimum crosssectional area of structural thin-walled beam of the chosen shape. The area of the cross-section is assumed to be the objective function. The stress constraints are introduced. The Lagrange multiplier method is applied. Solutions of analitically obtained expressions for the mathematical model, numerical solutions, as well as the saved mass, are calculated for three loading cases