Tensor product of filtered A∞A_\infty-algebras

We define the tensor product of filtered $A_\infty$-algebras. establish some of its properties and give a partial description of the space of bounding cochains in the tensor product. Furthermore we show that in the case of classical $A_\infty$-algebras our definition recovers the one given by Markl and Shnider. We also give a criterion that implies that a given $A_\infty$-algebra is quasi-isomorphic to the tensor product of two subalgebras. This will be used in a sequel to prove a K\"unneth Theorem for the Fukaya algebra of a product of Lagrangian submanifolds.Comment: v2: Longer version of the paper to appear in Journal of Pure and Applied Algebr

Floer cohomology of torus fibers and real lagrangians in Fano toric manifolds

In this article, we consider the Floer cohomology (with $\Z_2$ coefficients) between torus fibers and the real Lagrangian in Fano toric manifolds. We first investigate the conditions under which the Floer cohomology is defined, and then develop a combinatorial description of the Floer complex based on the polytope of the toric manifold. We show that if the Floer cohomology is defined, and the Floer cohomology of the torus fiber is non-zero, then the Floer cohomology of the pair is non-zero. We use this result to develop some applications to non-displaceability and the minimum number of intersection points under Hamiltonian isotopy.Comment: v2: Modified exposition and new corollary adde

Perversely categorified Lagrangian correspondences

In this article, we construct a $2$-category of Lagrangians in a fixed shifted symplectic derived stack S. The objects and morphisms are all given by Lagrangians living on various fiber products. A special case of this gives a $2$-category of $n$-shifted symplectic derived stacks $Symp^n$. This is a $2$-category version of Weinstein's symplectic category in the setting of derived symplectic geometry. We introduce another $2$-category $Symp^{or}$ of $0$-shifted symplectic derived stacks where the objects and morphisms in $Symp^0$ are enhanced with orientation data. Using this, we define a partially linearized $2$-category $LSymp$. Joyce and his collaborators defined a certain perverse sheaf on any oriented $(-1)$-shifted symplectic derived stack. In $LSymp$, the $2$-morphisms in $Symp^{or}$ are replaced by the hypercohomology of the perverse sheaf assigned to the $(-1)$-shifted symplectic derived Lagrangian intersections. To define the compositions in $LSymp$ we use a conjecture by Joyce, that Lagrangians in $(-1)$-shifted symplectic stacks define canonical elements in the hypercohomology of the perverse sheaf over the Lagrangian. We refine and expand his conjecture and use it to construct $LSymp$ and a $2$-functor from $Symp^{or}$ to $LSymp$. We prove Joyce's conjecture in the most general local model. Finally, we define a $2$-category of $d$-oriented derived stacks and fillings. Taking mapping stacks into a $n$-shifted symplectic stack defines a $2$-functor from this category to $Symp^{n-d}$.Comment: v3: improved exposition; couple of results adde

Exact Lagrangian submanifolds, Lagrangian spectral invariants and Aubry-Mather theory

We construct graph selectors for compact exact Lagrangians in the cotangent bundle of an orientable, closed manifold. The construction combines Lagrangian spectral invariants developed by Oh and results by Abouzaid about the Fukaya category of a cotangent bundle. We also introduce the notion of Lipschitz-exact Lagrangians and prove that these admit an appropriate generalization of graph selector. We then, following Bernard-Oliveira dos Santos, use these results to give a new characterization of the Aubry and Mane sets of a Tonelli Hamiltonian and to generalize a result of Arnaud on Lagrangians invariant under the flow of such Hamiltonians.Comment: v4: final version; to appear in Math. Proc. Camb. Phil. So

The Inverse function theorem for curved L-infinity spaces

In this paper we prove an inverse function theorem in derived differential geometry. More concretely, we show that a morphism of curved $L_\infty$ spaces which is a quasi-isomorphism at a point has a local homotopy inverse. This theorem simultaneously generalizes the inverse function theorem for smooth manifolds and the Whitehead theorem for $L_\infty$ algebras. The main ingredients are the obstruction theory for $L_\infty$ homomorphisms (in the curved setting) and the homotopy transfer theorem for curved $L_\infty$ algebras. Both techniques work in the $A_\infty$ case as well.Comment: Comments welcome! Title change in the second version, references adde

Categorical primitive forms of Calabi-Yau A∞A_\infty-categories with semi-simple cohomology

We study categorical primitive forms for Calabi--Yau $A_\infty$ categories with semi-simple Hochschild cohomology. We classify these primitive forms in terms of certain grading operators on the Hochschild homology. We use this result to prove that, if the Fukaya category ${{\sf Fuk}}(M)$ of a symplectic manifold $M$ has semi-simple Hochschild cohomology, then its genus zero Gromov--Witten invariants may be recovered from the $A_\infty$-category ${{\sf Fuk}}(M)$ together with the closed-open map. An immediate corollary of this is that in the semi-simple case, homological mirror symmetry implies enumerative mirror symmetry.Comment: Comments welcome. v2: sign corrections and other improvement

Open and Closed Mirror Symmetry

A simetria de espelho conjectura uma correspondência profunda entre a geometria simpléctica de um espaço e a geometria algébrica do seu “espelho”. Existem várias versões desta correspondência, desde a igualdade de alguns invariantes numéricos, inicialmente conjecturada por físicos, a versões categóricas propostas por Kontsevich. Este artigo revê algumas destas versões e ilustra-las num exemplo relativamente simples: uma esfera com três orbi-pontos (no lado simpléctico). Explicamos como construir o espaço “espelho”, enunciamos as conjecturas de espelho e descrevemos uma abordagem à sua prova

Educação para o empreendedorismo: a educação para o empreendedorismo nos cursos de licenciatura de Educação Social em Portugal

A presente investigação tem como objetivo analisar a existência da educação para o empreendedorismo na organização curricular dos cursos de licenciatura em educação social. Paralelamente importa identificar as instituições do ensino superior que lecionam este tipo de curso e analisar a perceção dos seus coordenadores relativamente à incorporação do empreendedorismo nos respetivos planos de estudos. Dada a atual conjuntura nacional e europeia o estudo do empreendedorismo assume um papel relevante no âmbito da economia social. Por outro lado não se verifica qualquer estudo no que respeita à educação para o empreendedorismo na educação social, o que vem acrescentar valor à investigação. Deste modo releva-se para o contributo que adiciona originalidade mas também limitações no que respeita ao acesso de material bibliográfico. Ao nível metodológico foi necessário verificar, através dos sítios na internet das instituições de ensino superior, se integram unidades curriculares ou conteúdos programáticos ligados ao empreendedorismo. Na fase posterior foram selecionadas para a realização de uma entrevista quatro instituições de ensino superior das quais duas integram unidades curriculares ou conteúdos programáticos relacionados com o empreendedorismo e outras duas que não integram. Esta investigação analisa vários conceitos, como a educação social e o seu surgimento como licenciatura em Portugal, o empreendedorismo social, o intrapreendedorismo e a educação para o empreendedorismo, demonstrando a sua relação com o tema da investigação. Os resultados demonstram que existe por parte das instituições de ensino superior que não integram o empreendedorismo na sua organização curricular uma preocupação evidente em fazê-lo. Relativamente às instituições de ensino superior que lecionam o curso referido e que integram conteúdos programáticos ou unidades curriculares ligadas ao empreendedorismo manifestam uma opinião muito positiva no que respeita ao impacto no futuro dos seus diplomados, uma vez que pode favorecer a sua integração no mercado de trabalho, bem como potenciar a autonomização das suas populações alvo das suas intervenções.This research aims to analyze the existence of entrepreneurship education in the curricular organization of degree courses in social education. Alongside important to identify the institutions of higher education who teach this type of course and analyze the perception of their coordinators with regard to the incorporation of entrepreneurship in their respective curricula. Given the current national situation and the study of European entrepreneurship plays an important role in the social economy. On the other hand there is no any study with regard to entrepreneurship education in social education, which adds value to the research. Thus falls to the contribution that adds originality but also limitations on access to library materials. At the methodological level was necessary to check through the internet websites of higher education institutions, integrate courses or syllabus linked to entrepreneurship. In the later stage were selected to conduct an interview four institutions of higher learning which integrate two courses or syllabus related to entrepreneurship and two others who are not members. This research examines various concepts such as social education and its emergence as a degree in Portugal, social entrepreneurship, and the intrapreendedorismo entrepreneurship education, demonstrating its relationship to the subject of the investigation. The results show that there is on the part of institutions of higher education that do not integrate entrepreneurship in their curriculum organization a concern evident in doing so. For institutions of higher education who teach the course and said that integrate syllabuses or courses related to entrepreneurship show a very positive opinion regarding the future impact of their graduates, since they can promote their integration in the labor market as well as enhance the empowerment of their target populations of their interventions

O (não) funcionamento da reescrita em textos produzidos por licenciandos em letras

Estudos apontam o funcionamento da reescrita como etapa de melhoramento do texto. Todavia, experiências empíricas nos indicaram que nem sempre a reescrita funciona conforme o esperado. A partir dessas observações, realizamos pesquisa sobre atividades de reescrita com professores em formação inicial, entre os quais identificamos sujeitos que, supostamente, deveriam dominar a produção textual, mas que revelaram pouco domínio dessa atividade, necessitando, portanto, da didatização da reescrita. O objetivo da pesquisa foi identificar e analisar os fatores que contribuem (ou não) para a reescrita textual no ensino superior. Os fundamentos teóricos recuperam os estudos sobre escrita de Kato (1993), Meurer (1997) e Sautchuk (2003), além de trabalhos sobre a reescrita elaborados por Jesus (1995), Ruiz (2001), Antunes (2003), entre outros. A metodologia, de inspiração interpretativista, segue os procedimentos dos trabalhos documentais e exploratórios. A análise revela a existência de dois fatores complexos e imbricados que contribuem tanto para o funcionamento quanto para o não funcionamento da reescrita textual no ensino superior: a correção do sujeito professor e a experiência com a escrita do sujeito licenciando produtor. Há uma tendência de a correção favorecer a passividade do produtor; concomitantemente, há outra tendência que é a da reversão dessa passividade, mas esta depende do engajamento do produtor na atividade de reescrita. Os dados mostram que essa segunda tendência é menos recorrente