π-Projective Semimodule Over Semiring

سابقا تم دراسة  مفهوم المقاس الاسقاطي من النوع π على  الحلقة من قبل عدة مؤلفين. في هذا البحث هذا المفهوم سيقدم ويعمم لشبه المقاس على شبه الحلقة. ليكنT شبه مقاس يساري وحدوي, فنقول انه اسقاطي من النوع π اذا كان لكل شبه مقاسين جزئيين منه بشرط ان شبه المقاس يساوي مجموع هذين الشبه المقاسين الجزئيين,  فيوجد تشاكلين بحيث ان التشاكل الاول مجموعة جزئية من احد شبه المقاسين الجزئيين,  والتشاكل الثاني مجموعة جزئية من الاخر و مجموع التشاكلين يساوي الدالة الاحادية بالنسبة لشبه المقاس المعطى.   Previously the concept of π-projective modules over ring was studied by some authors. The aim of this research is to give a comprehensive study of π-projective semimodule and access to some new properties and characterizations for this class of semimodules.           Let S be a commutative semiring with identity 1≠0 and T a unital left semimodule, then we say that T is π-projective  if for every two subsemimodules M and L of T with T=M+L, there exist f and g ϵEnd(T), such that f +g=1T,  f(T) M and g(T) L

Nearly Injective Semimodules

 في الفترة الماضية تم دراسة مفهوم الاغمار في فئة شبه المقاسات على شبه الحلقة من قبل عدد من الباحثين. من ناحية اخرى, فقد تم تعميم مفهوم الاغمار في فئة المقاسات على الحلقة في عدة اتجاهات مختلفة . على الخصوص المقاسات الاغمارية بالنسبة الى الجذر الابتدائي هي بعض من تلك التعميمات.        بالتناظر مع نظرية المقاسات, استحدثنا ودرسنا في هذا البحث مفهوم شبه المقاس الاغماري نسبة الى جذر جاكوبسن حيث اسميناه شبه المقاس الاغماري تقريبا.An injectivity in the category of semimodules over semiring was studied by many authors recently. On the other hand, the concept of injectivity, in the category of modules over ring, was generalized in many different directions. In particular, injective modules relative to preradical were some of those generalizations.        As an analogue to module theory, in this paper, we introduce  and investigate the notion of "injective semimodule relative to Jacobson radical (namely nearly injective semimodule)"

On Preradical of Semimodules

In this paper we study the notion of preradical on some subcategories of the category of semimodules and homomorphisms of semimodules.Since some of the known preradicals on modules fail to satisfy the conditions of preradicals, if the category of modules was extended to semimodules, it is necessary to investigate some subcategories of semimodules, like the category of subtractive semimodules with homomorphisms and the category of subtractive semimodules with ҽҟ-regular homomorphisms

On p-duo Semimodules

مفهوم شبه الموديول من النوع p ثنائي قد استحدث كتعميم ل ثنائي شبه الموديول حيث ان شبه الموديول يقال له بانه p ثنائي اذا كان كل شبه موديول جزئي نقي من شبه الموديول, تام الثبات. العديد من النتائج حول هذا المفهوم قد حصلت.The concept of p-duo semimodule is introduced as a generalization of duo semimodule, where a semimodule M is said to be a p-duo if every pure subsemimodule of M is fully invariant. Many results about this concept are given

Principally Pseudo-Injective Semimodule

      نقدم في هذا البحث, مفهوم  شبه المقاس الرئيس  الاغماري الكاذب الذي هو تعميم لمفهوم شبه المقاس الرئيس شبه الاغماري رئيسا, وندرس بعض خواص شبه المقاس الرئيس الاغماري الكاذب والعلاقة بين شبه المقاس الرئيس  الاغماري الكاذب و شبه المقاس الرئيس شبه  الاغماري. يسمى شبه المقاس اغماري كاذب رئيسيا اذا كان لكل احاد تشاكل من اي شبه مقاس جزئي دوري من     الى   يمكن توسيعه الى تشاكل في شبه حلقة التشاكلات في .    In this paper, the connotation principally pseudo-injective semimodule which is a generalization of the notion principally quasi-injective semimodule will be introduced, we study some properties of principally pseudo-injective semimodule. Relationship between principally pseudo-injective and principally quasi-injective semimodule is given. A semimodule is called principally pseudo-injective (shortly, P.P.-injective) if for any cyclic subsemimodule Ų of, any monomorphism from Ų into can be extended to an endomorphism of

s-Compressible and s-Prime Modules

   Let R be a ring with identity and Ą a left R-module. In this article, we introduce new generalizations of compressible and prime modules, namely s-compressible module and s-prime module. An R-module A is s-compressible if for any nonzero submodule B of A there exists a small f in HomR(A, B). An R-module A is s-prime if for any submodule B of A, annR (B) A is small in A. These concepts and related concepts are studied in as well as  many results consist properties and characterizations are obtained.  </jats:p

Extending Semimodules over Semirings

Abstract The objective of our research paper is to introduce as well as to study many essential properties of the concept of extending semimodules. A semimodule S is named extending (CS) if every subsemimodule of S is essential in a direct summand of S. Therefore, extending semimodule behaviour with respect to direct sums and direct summands are examined. Moreover, studying some properties of these semimodules concepts, e.g., every direct summand of a CS-semimodule is a CS-semimodule. While the direct sum of extending semimodules is not necessarily extending.</jats:p