Proper general decomposition (PGD) for the resolution of Navier–Stokes equations

In this work, the PGD method will be considered for solving some problems of fluid mechanics by looking for the solution as a sum of tensor product functions. In the first stage, the equations of Stokes and Burgers will be solved. Then, we will solve the Navier–Stokes problem in the case of the lid-driven cavity for different Reynolds numbers (Re = 100, 1000 and 10,000). Finally, the PGD method will be compared to the standard resolution technique, both in terms of CPU time and accuracy.Région Poitou-Charente

Adaptative reduced order model to control non linear partial differential equations

In classical adjoint based optimal control of unsteady dynamical systems, requirements of CPU time and storage memory are known to be very important. To overcome this issue, model order reduction techiques operating by the construction of a separated representation of the solution are considered. A spatial basis must be calcu- lated for each variation in control parameters, followed by a Galerkin projection of the equations’s residuals on this basis, that results in a low dimentional system of ordinary differential equations. These steps need to be carried out in every iteration of the control algorithm. The most popular reduced order model method is the Proper Orthogonal De- composition (POD). It is used here for the construction of reduced bases. The interest in this communication is turned to the adaptation of these bases respectivly to control parameter variations. Two adaptation approaches are considered. The first one uses a powerfull interpolation method based on calculus of geodesic paths on the Grassmann manifold. This approach needs a precomputed set of bases associated to a distribution of opetating points, that are calculated using POD method. The second approach uses the Proper Generalized Decomposition (PGD) considered here as a correction method. This method consists in enriching a basis by reducing the error of the approximated solution

Contrôle optimal des écoulements par des modèles d'ordre réduit basés sur la POD et la PGD

  Le contrôle optimal des écoulements nécessite de résoudre les équations de Navier-Stokes et leurs équations adjointes de nombreuses fois, ce qui entraîne des temps de calcul très longs et des capacités de stockage importantes. Il n'est donc pas possible d'envisager de faire du contrôle en temps réel ou quasi-réel avec les techniques de résolution classiques (LES, DNS...etc). Afin de diminuer drastiquement les temps de calcul et la taille des données stockées, il est possible d'utiliser des méthodes de réductions de modèle. Ces approches consistent à écrire la solution du problème dans une base de taille réduite, puis à projeter les équations de Navier-Stokes sur cette base afin d'obtenir un système d'équations différentielles de petite taille dont la résolution, très rapide, permet d'accéder à la dynamique temporelle de l'écoulement. La POD (Proper Orthogonal Decomposition), caractérisée par son optimalité à pouvoir reproduire le phénomène physique en très peu de modes, est la méthode de réduction de modèle la plus utilisée en mécanique des fluides. L'inconvénient majeur de l'approche POD réside dans le fait que la base construite n'est valable que pour la gamme de paramètres pour laquelle elle a été construite. Cet aspect est handicapant notamment à l'intérieur d'une boucle de contrôle où le paramètre varie. Dans le contexte du contrôle optimal, l'approche POD a entre autres été utilisée par Bergmann et al. (Journal of Computational Physics, 2008) pour minimiser la traînée d'un écoulement autour d'un cylindre. Basée sur la méthode des régions de confiance, l'approche proposée nécessite de construire une nouvelle base POD à chaque itération de l'algorithme de contrôle, et donc par suite à faire des simulations classiques des équations de Navier-Stokes, ce qui est coûteux. Tallet et al. (Numerical Heat Transfert part B, 2016) ont quant à eux utilisé l'approche pour contrôler un écoulement anisotherme. Pour cela ils ont considéré une base POD fixe construite à l'aide de clichés issus de simulations balayant une large plage de paramètres de contrôle. Les simulations se font en temps quasi-réels mais l'approche ne permet pas d'avoir un paramètre cible trop éloignée de ceux utilisés pour la construction de la base. Dans ce papier, afin de s'affranchir de ces difficultés, deux techniques de mise à jour de base sont proposées. La première approche considérée est la PGD (Proper Generalized Decomposition), introduite par Ammar et al. (Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 2006), qui est une technique itérative d'enrichissement de bases. Ainsi à chaque itération de l'algorithme de contrôle la base est mise à jour par quelques itérations PGD. La seconde approche est quant à elle une technique d'interpolation de bases, robuste, basée sur le calcul des géodésies dans la variété de Grassmann. Cette approche, introduite par Amsallem et Farhat (AIAA Journal, 2008) dans le contexte de l'aéro-élasticité, permet d'obtenir rapidement par interpolation une nouvelle base à chaque itération de l'algorithme de contrôle. Ces différentes approches seront appliquées pour contrôler en temps quasi-réel l'écoulement à l'intérieur d'une cavité dans lequel des sources existent. L'objectif est de retrouver l'intensité des sources, qui sont les paramètres de contrôle, correspondant à une valeur cible de l'écoulement. La robustesse et le potentiel de ces approches en termes de précision et de temps de calcul seront présentés

Simulation numérique des écoulements anisothermes par Proper Generalized Decomposition (PGD)

L'objectif de ce travail est d'appliquer la méthode Proper Generalized Decomposition (PGD) pour résoudre les équations de Navier-Stokes. Par cette technique la solution est recherchée comme une somme de produits tensoriels de chacune des variables du problème (espace, temps ...). La méthode sera appliquée pour simuler l'écoulement dans une cavité entraînée dans les cas isotherme et anisotherme. Les résultats obtenus seront comparés à ceux obtenus par une méthode de résolution standard aussi bien en terme de précision que de temps de simulations

Résolution numérique des équations de transfert par une méthode de réduction a priori

Ce papier décrit l'application de la méthode de réduction a priori (APR) dans plusieurs cas académiques. Cet algorithme, qui consiste a déterminer de façon a priori une base d'un écoulement, utilise la décomposition de Karhunen-Loève et des sous-espaces de Krylov, et a été appliquée dans le cas de l'équation de convection-diffusion 2D, ainsi que dans le cas de la cavité entraînée. Couplée à un système dynamique, cette méthode présente l'avantage d'être extrémement rapide et permet un réajustement dynamique de la base lors de modifications de paramètres contrôlant l'écoulement

Simulation of Heat and Mass Transport in a Square Lid-Driven Cavity with Proper Generalized Decomposition (PGD)

The aim of this study is to apply proper generalized decomposition (PGD) to solve mixed-convection problems with and without mass transport in a two dimensional lid-driven cavity. PGD is an iterative reduced order model approach which consists of solving a partial differential equation while seeking the solution in separated form. Comparisons with results in the literature and with results from a standard solver are make. For the case of a mixed-convection problem without mass transfer, three Richardson numbers are considered, Ri=0.1, Ri=1, and Ri=10. In this case, PGD is seven times faster than the standard solver with Ri=10 with a similar accuracy. For the case with mass transfer, simulations are done with different Lewis numbers, Le=5, Le=25, and Le=50, and with different value of the ratio N between the solutal and the thermal Grashoff numbers. In this case, too, PGD is ten times faster than the standard solver

Contrôle optimal de la qualité de l’air dans une cavité bidimensionnelle par réduction de modèle

L’objectif à terme de la présente étude est d’agir sur l’écoulement pour contrôler la dispersion du polluant dans une pièce. L’utilisation des méthodes de réduction de modèle offre à cet égard des perspectives intéressantes. Le contrôle de la dynamique de l'écoulement est réalisé ici en jouant sur l’intensité du fluide injecté par les différentes entrées d’une cavité bidimensionnelle

Adaptative reduced order model to control non linear partial differential equations

In classical adjoint based optimal control of unsteady dynamical systems, requirements of CPU time and storage memory are known to be very important. To overcome this issue, model order reduction techiques operating by the construction of a separated representation of the solution are considered. A spatial basis must be calcu- lated for each variation in control parameters, followed by a Galerkin projection of the equations’s residuals on this basis, that results in a low dimentional system of ordinary differential equations. These steps need to be carried out in every iteration of the control algorithm. The most popular reduced order model method is the Proper Orthogonal De- composition (POD). It is used here for the construction of reduced bases. The interest in this communication is turned to the adaptation of these bases respectivly to control parameter variations. Two adaptation approaches are considered. The first one uses a powerfull interpolation method based on calculus of geodesic paths on the Grassmann manifold. This approach needs a precomputed set of bases associated to a distribution of opetating points, that are calculated using POD method. The second approach uses the Proper Generalized Decomposition (PGD) considered here as a correction method. This method consists in enriching a basis by reducing the error of the approximated solution

Contribution à l'identification des bifurcations et à l'étude des écoulements fluides par des systèmes dynamiques d'ordre faible (P.O.D.)

Motivés par la modélisation de la réduction de bruits auto-entretenus, nous avons testé et développé différentes méthodes numériques. Elles permettent l'identification de bifurcations stationnaires dans les écoulements fluides présentant des phénomènes d'attachement d'un jet à une paroi par effet Coanda, et la prédiction de la dynamique de ces écoulements. Ces techniques, à savoir la Méthode Asymptotique Numérique (MAN), des simulations aux grandes échelles et un système dynamique d'ordre faible (SD) obtenu par décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD), présentent des degrés de performance différents selon les configurations étudiées: expansion brusque, cavité ouverte, diffuseur long Afin d'améliorer la prédiction de SD, plusieurs méthodes de stabilisations sont testées et on propose une méthode de correction qui prend en compte le fait que le champ de vitesses issu des simulations LES n'est pas le champ physique mais le champ filtré. Pour s'affranchir du terme de pression apparaissant dans SD, on propose une formulation du problème en contrainte associée à une méthode de pénalisation.In this report we have tested and developed various numerical methods. They allows the identification of stationary bifurcations in the fluid flows characterized by the attachment of a jet to a wall by Coanda effect, and the prediction of the dynamic of these flows. These methods, which are the Asymptotic Numerical Method (MAN), Large Eddy Simulations and a low order dynamical system (DS) obtained by proper orthogonal decomposition (POD), are applied to various geometries : sudden expansion, opened cavity, long diffuser... In order to increase the prediction of DS, some methods of stabilizations are tested and we suggest a method of correction which take account that the velocity field derived from the LES is not the physical field but the filtered field. In order to avoid the pressure term in the DS we propose to use a stress formulation with a penalization method.POITIERS-BU Sciences (861942102) / SudocSudocFranceF

Application de la méthode de séparation de variables à la resolution des equations de transfert

La résolution numérique d'écoulements turbulents nécéssite des maillages très fins et des temps de calculs très longs. Afin de réduire ces temps, on se propose d'utiliser la méthode de séparation de variable qui consiste à chercher la solution sous la forme d'une somme de produits de fonctions de chaque variable d'espace. Nous montrerons l'efficacité de la méthode sur les équations modèles de convection-diffusion en 2D et 3D, ainsi que les premiers résultats sur les équations de Navier-Stokes