Non-linear dynamic response of a cable system with a tuned mass damper to stochastic base excitation via equivalent linearization technique

Abstract: Non-linear dynamic model of a cable–mass system with a transverse tuned mass damper is considered. The system is moving in a vertical host structure therefore the cable length varies slowly over time. Under the time-dependent external loads the sway of host structure with low frequencies and high amplitudes can be observed. That yields the base excitation which in turn results in the excitation of a cable system. The original model is governed by a system of non-linear partial differential equations with corresponding boundary conditions defined in a slowly time-variant space domain. To discretise the continuous model the Galerkin method is used. The assumption of the analysis is that the lateral displacements of the cable are coupled with its longitudinal elastic stretching. This brings the quadratic couplings between the longitudinal and transverse modes and cubic nonlinear terms due to the couplings between the transverse modes. To mitigate the dynamic response of the cable in the resonance region the tuned mass damper is applied. The stochastic base excitation, assumed as a narrow-band process mean-square equivalent to the harmonic process, is idealized with the aid of two linear filters: one second-order and one first-order. To determine the stochastic response the equivalent linearization technique is used. Mean values and variances of particular random state variable have been calculated numerically under various operational conditions. The stochastic results have been compared with the deterministic response to a harmonic process base excitation

Stabilizacja drgań parametrycznych płyty za pomocą rozłożonego sterowania

A theoretical investigation of vibration control for linear laminated plate due to uniform, harmonically or arbitrarily varying in-plane forces is presented. A distributed controller in an active system consisting of electroded piezoelectric sensors/actuators with suitable polarization profiles is considered. To satisfy the Maxwell electrostatics equation in the actuator, a constant electrical potential distribution in the in-plane directions and linear distribution in transverse direction cannot be assumed but is rather obtained by solving the coupled governing equations by assuming a certain theoretically advisable distribution in the thickness direction. Coupled dynamics equations with respect to a plate displacement and an electric field are derived using the Hamilton principle. The rate velocity feedback is applied to stabilize the plate parametric vibration. The almost sure stability of the trivial solution is analysed using the appropriate Liapunov functional.W dotychczasowym opisie układów aktywnych składających się z ciągłego układu mechanicznego z warstwami piezoelektrycznymi upraszczano równanie aktuatora zakładając, że generowane w nim pole elektryczne zależy jedynie od przyłożonego zewnętrznego napięcia generowanego przez układ sterowania. Zakładano również arbitralnie liniowy rozkład napięcia na grubości warstwy. Nie spełniano w ten sposób równania elektrostatyki warstwy wykonanej z materiału piezoelektrycznego. W niniejszej pracy wyprowadzono sprzężony układ równań opisujący dynamikę płyty prostokątnej. W płycie zanurzone są dwie symetryczne warstwy piezoelektryczne o polaryzacji prostopadłej do powierzchni płyty. Sensor wykonany jest z cienkiej folii piezoelektrycznej PVDF o pomijalnie małej w porównaniu z belką i piezoceramicznymi aktuatorami sztywności. Odkształcenie w płycie i warstwach piezoelektrycznych opisano zgodnie z teorią Kirchhoffa. Za pomocą zasady Hamiltona otrzymano zmodyfikowane równanie dynamiki płyty i równanie elektrostatyki zawierające składniki zależne od krzywizn i torsji oraz pochodnych potencjału elektrycznego. Wyprowadzono również zmodyfikowane warunki brzegowe odpowiadające swobodnemu podparciu. Napięcie działające na piezoceramiczne aktuatory wyznaczono przy założeniu prędkościowego sprzężenia zwrotnego na podstawie zmierzonego napięcia. Otrzymane równania posłużyły do analizy stateczności i stabilizacji drgań parametrycznych płyty poddanej działaniu sił jawnie zależnych od czasu działających w płaszczyźnie środkowej. Wprowadzono nowy funkcjonał Lapunowa, zawierający obok składników mechanicznych składniki będące energią pola elektrycznego. Po założeniu rozkładu gęstości prawdopodobieństwa sił błonowych możliwe jest wyznaczenie obszaru stateczności w funkcji parametrów, to jest współczynnika tłumienia, współczynnika wzmocnienia sprzężenia zwrotnego, średnich wartości i wariancji sił. Z analizy wzorów wynika, że obszar stateczności jest większy przy uwzględnieniu działania pola elektrycznego opisanego równaniem elektrostatyki podczas badania stateczności. Pominięcie równania elektrostatyki prowadzi do zbyt konserwatywnych wyników stabilizacji. Występuje tu zjawisko nasycenia podczas wzrostu współczynnika wzmocnienia

Modelowanie adaptacyjnych powłok z cieczą elektroreologiczną

Electrorheological fluids show immediate variations of their rheological properties when subjected to varying electric fields. This study presents vibration analysis of a closed cylindrical shell partially filled with controllable fluids. The analysed structure as an element of harmonic drive can generate torsional vibration due to the wave generator operation. As a result of the study, fluid-filled laminated cylindrical shell has shown an increased and controllable damping capacity as compared to the conventional shell.Ciecze elektroreologiczne wykazują szybkie zmiany swoich właściwości reologicznych pod wpływem pola elektrycznego.W pracy przedstawiono analizę drgań zamkniętej walcowej powłoki częściowo wypełnionej cieczą elektroreologiczną poddaną działaniu pola elektrycznego. Zastosowanie tego rozłożonego tłumika semiaktywnego powoduje zmniejszenie drgań skrętnych powłoki jako części przekładni falowej w porównaniu z klasycznym rozwiązaniem. Zbadano dwie konfiguracje tłumika i stwierdzono, że tłumik pływający ma lepsze właściwości tłumiące w porównaniu z tłumikiem jednostronnie sztywno połączonej z powłoką

Słabe sformułowanie stabilności hybrydowych obracających się wałów swobodnie podpartych i sztywnie utwierdzonych

In this paper, a technique of dynamic stability analysis proposed for the conventional laminated structures is extended to activated shape memory alloy hybrid rotating structures axially loaded by a time-dependent force. In the stability study, the hybrid shaft is treated as a thin-walled symmetrically laminated beam containing both the conventional fibers, and the activated shape memory alloy fibers parallel to the shaft axis. The stability analysis method is developed for distributed dynamic problems with relaxed assumptions imposed on solutions. The weak form of dynamical equations of the rotating shaft is obtained using Hamilton's principle. We consider the influence of activation through the change of temperature on the stability domains of the shaft in the case when the angular velocity is constant. The force stochastic component is assumed in the form of ergodic stationary processes with continuous realisations. The study of stability analysis is based on examining properties of Liapunov's functional along a weak solution. Solution to the problem is presented for an arbitrary combination of simply supported and/or clamped boundary conditions. Formulas defining dynamic stability regions are written explicitly.W pracy rozszerzono możliwości analizy stabilności układów ciągłych na obracający się wał hybrydowy poddany czasowo zmiennej sile osiowej przy osłabionych założeniach spełnianych przez rozwiązania. Kompozytowy wał hybrydowy obracający się ze stałą prędkością kątową traktowany jest jako cienkościenna belka zawierającą obok klasycznych włókien również włókna wykonane z materiału z pamięcią kształtu. Słabą postać równań ruchu wału wyprowadzono z zasady Hamiltona. Rozpatrzony jest wpływ aktywacji termicznej na obszar stabilości wału przy założeniu nie tylko swobodnego podparcia obu końców wału, lecz również przy podparciu utwierdzonym i mieszanym. Podczas wyprowadzania warunków stabilności korzysta się z badania właściwości funkcjonału Lapunowa wzdłuż rozwiązania słabych równań ruchu wału. Wyprowadzono jawną postać warunków stabilności

Influence of bonding layer on piezoelectric actuators of an axisymmetrical annular plate

The purpose of this teoretical work is to present a general model of the response of an annular plate to the excitation by an annular actuator made of piezoelectric elements. The plate is clamped at the inner edge and free at the outer edge. Dynamic equations, joint conditions between sections with and without active layers as well as the boundary conditions at the two edges of the plate form a boundary value problem. The dynamic displacement response to the to the excitation by the applied harmonic voltage term are determined from the solution to this boundary value problem. The dynamic extensional strain on the plate surface is calculated by including the free stress conditions at the piezoelectric actuator boundaries, by considering the dynamic coupling between the actuator and the plate, and by taking into account a finite bonding layer with finite stiffness. Results from numerical simulation show influence of the bonding layer stiffness on the frequency- and space-dependent plate response.Wpływ warstwy kleju na działanie piezoelektrycznego aktuatora płyty pierścieniowej. Celem tej analitycznej pracy jest przedstawienie ogólnego modelu odpowiedzi płyty pierścieniowej na wymuszenie pochodzące od piezoelektrycznych pierścieniowych aktuatorów. Płyta jest sztywno zamocowana na brzegu wewnętrznym i swobodna na brzegu zewnętrznym. Warunki współpracy aktuatora z płytą uwzględniają właściwości sprężyste bezmasowej warstwy kleju poddawanej ścinaniu. Problem brzegowy opisano równaniami dynamiki płyty i piezoaktuatora, warunkami brzegowymi oraz warunkami zgodności na brzegach pierścieniowych obszarów rozgraniczających swobodne i poddane działaniu aktuatora części płyty. Ten kołowosymetryczny problem brzegowy rozwiązano dla harmonicznego wymuszenia napięciowego elementów piezoelektrycznych. Wyniki pokazują wpływ obecności warstwy kleju o skończonej sztywności na ścinanie, na charakterystyki częstotliwościowe przemieszczeń poprzecznych płyty, naprężeń stycznych w warstwie kleju i przemieszczeń radialnych piezoaktuatora

Dynamic stability of electrorheological fluid-filled laminate

In the present paper the technique of the dynamic stability analysis proposed for conventional laminated structures is extended to cover the activated electrorheological fluid-filled beam under the time-dependent axial loading. The thin simmetrically laminated structure consists of the uniform beam and the multi-cell chains containing the electrorheological fluid in an extensional configuration. Changing the electric field on the cell electrodes modifies basic mechanical properties such as Young's modulus, and the retardation time. The present paper aims at analysis of the classical stability domains of the beam. In order to derive the dynamic stability criteria the Liapunov functional as a sum of the modified kinetic energy and the elastic energy of the beam is chosen. The stability regions as functions of loading characteristics, damping coefficient are given.Dynamiczna stateczność laminatu z cieczą elektroreologiczną. Praca dotyczy analizy klasycznego zagadnienia stateczności belki wypełnionej cieczą elektroreologiczną w celu odpowiedzi na pytanie: jak elektryczna aktywacja cieczy zamienia obszary stateczności. Ciecz elektroreologiczną opisano modelem standardowym i modelem cieczy Oldroyda o współczynnikach zależnych od przyłożonego pola elektrycznego. W celu wyprowadzenia kryteriów stateczności posłużono się bezpośrednią metodą Lapunowa

Dynamiczna stateczność słabych równań płyt prostokątnych

The stability analysis method is developed for distributed dynamic problems with relaxed ssumptions imposed on solutions. The problem is motivated by structural vibrations with external time-dependent parametric excitations which are controlled using surfacemounted or embedded actuators and sensors. The strong form of equations involves irregulari- ties which lead to computational difficulties for estimation and control problems. In order to avoid irregular terms resulting from differentiation of force and moment terms, dynamical equations are written in a weak form. The weak form of dynamical equations of linear mechanical struc- tures is obtained using Hamilton’s principle. The study of stability of a stochastic weak system is based on examining properties of the Liapunov functional along a weak solution. Solving the problem is not dependent on assumed boundary conditions.W pracy rozszerzono możliwości analizy stabilności układów ciągłych na układy z osłabionymi warunkami nakładanymi na rozwiązania. Układy aktywnego tłumienia drgań cienkościennych elementów płytowych mogą zawierać elementy piezoelektryczne oddziaływujące na konstrukcję.W uproszczonym modelu oddziaływanie to sprowadza się do działania momentów gnących lub sił rozłożonych na krawędziach elementu piezoelektrycznego. Wprowadzenie dystrybucji -Diraca i jej pochodnej prowadzi do analitycznego zapisu obciążenia i wprowadza nieregularności do rozwiązania zadania drgań wymuszonych układu ciągłego. Słabą postać równań płyty otrzymano za pomocą zasady Hamiltona. Badanie stateczności stochastycznych układów w formie słabej jest oparte na analizie funkcjonału Lapunowa wzdłuż słabego rozwiązania. Rozwiązanie zadania jest niezależne od przyjętych warunków brzegowych

Stabilization of beam parametric vibrations by means of distributed piezoelectric elements.

The paper concerns stabilization of an elastic beam subjected to a timedependent axial forcing. The direct Liapunov method is proposed to establish criteria for the almost sure stochastic stability of the unperturbed (trivial) solution of the structure with closed-loop control. We construct the Liapunov functional as a sum of the modified kinetic energy and elastic energy of the structure. An influence of damping in the finite bonding layer is described by the effective retardation time of the Voigt-Kelvin model. The distributed control is realized by the piezoelectric sensor and actuator, with changing widths, glued to the upper and lower beam surfaces, respectively. The paper is devoted to the stability analysis of the closed-loop system described by the stochastic partial differential equation without a finite-dimensional approach. The effective stabilization conditions implying the almost sure stability are the main results. A fluctuating axial force is modelled by the physically realizable ergodic process. The rate velocity feedback is applied to stabilize the panel parametric vibrations. Calculations are performed for the Gaussian process with given mean value and variance as well as for the harmonic process with amplitude A.Praca dotyczy stabilizacji belki sprężystej poddanej działaniu siły ściskającej zależnej od czasu. Warunek prawie pewnej stateczności stochastycznej wyprowadzono za pomocą bezpośredniej metody Lapunowa. Jako funkcjonał Lapunowa przyjęto sumę zmodyfikowanej energii kinetycznej i energii potencjalnej belki. Tłumienie w warstwie łączącej elementy piezoelektryczne z belką opisano efektywnym współczynnikiem tłumienia modelu Voigta-kelvina. Sterowanie jest realizowane za pomocą rozłożonych piezoelektrycznych elementów pomiarowych i wykonawczych o zmiennej szerokości przyklejonych do powierzchni belki. Zasadniczym celem pracy jest analiza stabilności układu ciągłego ze sprzężeniem zwrotnym opisanym równaniem o pochodnych cząstkowych. Głównym wynikiem są efektywne warunki stabilizacji zapewniające prawie pewną stabilność stochastyczną belki. Zmienna siła modelowania jest jako fizycznie realizowalny stochastyczny proces ergodyczny. Prędkościowe sprzężenie zwrotne zapewnia stabilizację drgań parametrycznych. Obliczenia są przeprowadzone dla procesu Gaussowskiego o danej średniej i wariancji oraz procesu harmonicznego o danej amplitudzie