Numerical model of solid phase transformations governed by nucleation and growth. Microstructure development during isothermal crystallization

A simple numerical model which calculates the kinetics of crystallization involving randomly distributed nucleation and isotropic growth is presented. The model can be applied to different thermal histories and no restrictions are imposed on the time and the temperature dependencies of the nucleation and growth rates. We also develop an algorithm which evaluates the corresponding emerging grain size distribution. The algorithm is easy to implement and particularly flexible making it possible to simulate several experimental conditions. Its simplicity and minimal computer requirements allow high accuracy for two- and three-dimensional growth simulations. The algorithm is applied to explore the grain morphology development during isothermal treatments for several nucleation regimes. In particular, thermal nucleation, pre-existing nuclei and the combination of both nucleation mechanisms are analyzed. For the first two cases, the universal grain size distribution is obtained. The high accuracy of the model is stated from its comparison to analytical predictions. Finally, the validity of the Kolmogorov-Johnson-Mehl-Avrami model is verified for all the cases studied

Stent-Graft Placement for Wide-Neck Aneurysm of the Vertebrobasilar Junction

We present a case in which a stent-graft was used to treat an aneurysm of the vertebrobasilar junction. According to our literature search, this is one of the first cases involving the intracranial placement of a stent-graft and the first case in which an aneurysm of the vertebrobasilar junction was treated in this manner. A stent-graft can be useful device for the neuroendovascular treatment of aneurysms in select patients

Cell size distribution in a random tessellation of space governed by the Kolmogorov-Johnson-Mehl-Avrami model: Grain size distribution in crystallization

The space subdivision in cells resulting from a process of random nucleation and growth is a subject of interest in many scientific fields. In this paper, we deduce the expected value and variance of these distributions while assuming that the space subdivision process is in accordance with the premises of the Kolmogorov-Johnson-Mehl-Avrami model. We have not imposed restrictions on the time dependency of nucleation and growth rates. We have also developed an approximate analytical cell size probability density function. Finally, we have applied our approach to the distributions resulting from solid phase crystallization under isochronal heating conditions

Mathematical and numerical model of directional solidification including initial and terminal transients of the process

Abstract The, developed in this study, simple model and numerical solution of diffusion growth of the solid phase under the conditions of directional solidification allow for the effect of constituent diffusion in both liquid and solid phase and assume the process run in which (like in reality) the preset parameter is the velocity of sample (pulling velocity) at a preset temperature gradient. The solid/liquid interface velocity is not the process parameter (like it is in numerous other solutions proposed so far) but a function of this process. The effect of convection outside the diffusion layer has been included in mass balance under the assumption that in the zone of convection the mixing is complete. The above assumptions enabled solving the kinetics of growth of the solid phase (along with the diffusion field in solid and liquid phase) under the conditions of diffusion well reflecting the process run starting with the initial transient state, going through the steady state period in central part of the casting, and ending in a terminal transient state. In the numerical solution obtained by the finite difference method with variable grid dimensions, the error of the mass control balance over the whole process range was 1 -2 %

Numerical modelling of grain refinement around highly reactive interfaces in processing of nanocrystallised multilayered metallic materials by duplex technique

Microstructure evolution around highly reactive interfaces in processing of nanocrystallised multilayered metallic materials have been investigated and discussed in the present work. Conditions leading to grain refinement during co-rolling stage of the duplex processing technique are analysed using the multi-level finite element based numerical model combined with three-dimensional frontal cellular automata. The model was capable to simulate development of grain boundaries and changes of the boundary disorientation angle within the metal structure taking into account crystal plasticity formulation. Appearance of a large number of structural elements, identified as dislocation cells, sub-grains and new grains, has been identified within the metal structure as a result of metal flow disturbance and consequently inhomogeneous deformation around oxide islets at the interfaces during the co-rolling stage. These areas corresponded to the locations of shear bands observed experimentally using SEM-EBSD analysis. The obtained results illustrate a significant potential of the proposed modelling approach for quantitative analysis and optimisation of the highly refined non-homogeneous microstructures formed around the oxidised interfaces during processing of such laminated materials

Analysis of the carbon distribution in the ductile iron eutectic cell using Averaged Voronoi Polyhedron

W pracy został przedstawiony model matematyczny krystalizacji żeliwa z grafitem kulkowym. W modelu uwzględniona została dyfuzja w skali mikro w kierunku promieniowym w obszarze elementarnego pola mikrodyfuzji (EPMD) odpowiadającego jednej komórce eutektycznej. Zaproponowano wykorzystanie EPMD o kształcie uśrednionego wielościanu Voronoia (UWV). Dla wyznaczenia geometrii EPMD zastosowano statystyczną teorię krystalizacji Kolmogorova. Przedstawiono zasady różnicowego sformułowania matematycznego omawianego zagadnienia. Zastosowanie geometrii wielościanu Voronoia pozwala uwzględnić zmniejszenie udziału objętościowego obszarów peryferyjnych ziaren równoosiowych na skutek losowych kontaktów pomiędzy sąsiednimi ziarnami. W modelowaniu uwzględniono wpływ dyfuzji pierwiastka stopowego w cieczy na końcowy rozkład jego stężenia w ziarnie eutektycznym. W wyniku symulacji wyznaczono rozkład składnika stopowego w różnych momentach czasu zarówno dla fazy pierwotnej jak i dla fazy ciekłej, co pozwoliło na otrzymanie danych dotyczących mikrosegregacji węgla w przekroju warstwy austenitu.The study presents the mathematical model of the carbon diffusion field in the growing eutectic grain during the ductile iron solidification. In the proposed model heat flow is analyzed at the macro level, while micro level is used for modeling of the diffusion field. The use of an averaged Voronoi polyhedron (AVP) geometry was proposed as a shape of the elementary diffusion field domain. To determine the geometry of the AVP, Kolmogorov’s statistical theory of the solidification was applied. The principles of a differential mathematical formulation of this problem were discussed. Application of the AVP geometry allows taking into account the reduced volume fraction of the peripheral areas of the equiaxial grains by random contacts between the adjacent grains. The model also takes into consideration an influence of a segregation of the solute in the liquid phase on the final distribution of this element in the eutectic grain. The distribution of the solute at different time instance in the liquid phase and eutectic austenite was calculated. It allows as to obtain data on the carbon distribution in the eutectic cell at the end of the solidification process. The cooling curve was determined as well

Modeling of Diffusion-Controlled Growth of Equiaxed Grains Using Averaged Voronoi Polyhedron Abstract

Przedmiotem artykułu jest zaprezentowanie modelu matematycznego krystalizacji równoosiowej. W tym celu został stworzony aparat matematyczny pozwalający na opis pola stężenia danego pierwiastka w niesferycznym Elementarnym Polu Mikrodyfuzji (EPMD) na przykładzie przemiany eutektycznej i perytektycznej w stopie Fe-C oraz przemiany perytektycznej w stopie Pb-Bi. Cechą charakterystyczną tego modelu jest uwzględnienie losowych kontaktów pomiędzy sąsiednimi EPMD, co powoduje powstanie niesferycznego kształtu tak krystalizujących ziaren. W celu opisania tak powstałych struktur zastosowano wielościany Voronoia. Ścianami takiej figury są fragmenty symetrycznych do odcinka łączącego dwa sąsiednie ziarna. Dokładny kształt tak powstałej bryły jest zależny od położenia najbliższych zarodków w stosunku do ziarna centralnego. Struktura taka powstaje podczas natychmiastowego zarodkowania ziaren i ich sferycznego wzrostu i została nazwana Uśrednionym Wielościanem Voronoia.The aim of the paper is to present a mathematical model of the equiaxed grains growth. This model describes the solute concentration field in the real-shape Elementary Diffusion Micro-Field (EMDF) during the solidification of equaxed grains. Model can be used for different solidification mechanism: single-phase solidification, eutectic nodular graphite iron or peritectic solidification. A characteristic feature of the used model is an accounting of the realistic shape of the equiaxed grains as a result of the stochastic contacts between adjacent grains. For a description of polycrystalline structures in the simulation the Voronoi polyhedrons are used. In this case, the walls of this polyhedron are fragments of planes perpendicular to the segments joining the "nuclei" and dividing these segments into two equal parts. The specific shape and volume of these polyhedra, as well as the number of faces and edges depend on the distribution of the nearest neighbouring "nuclei". Structure of this type is formed in the case of an immediate nucleation of the grains and their spherical growth at an equal rate. The shape of such a grain is called Averaged Voronoi Polyhedron (AVP)

Redukcja czasu obliczeń w modelowaniu kształtowania się mikrostruktury podczas krystalizacji metodą CAFD

In the CAFD solidification modeling (Cellular Automaton + Finite Difference) as the growing grains shape, as the final microstructure of the alloy were not superimposed beforehand but were obtained in the simulation. CAFD models take into account heat transfer, components diffusion in the solid and liquid phases, nucleation kineties, solid border migration and liquid phase vanishing etc. Computer methods that include the solutions for all above mentioned phenomena are very time-consuming. The "bottleneck" of the models is the temperature field calculation. Acceleration of the well-known Gauss-Seidel (GS) iterative method of the numerical solution of the difference equations set was proposed by mean the selective reduction of the iteration number for the different equations used in the temperature field modeling. Computer modeling results obtained by the known GS method and results of the proposed reduced scheme using were compared with the known analytical solution of the Schwarz task. It was shown that the reducing of the solution tolerance results in the substantial increase of the solution time but has a smali influence on the mean quadrate deviation between the numerical results and the analytical one. Proposed solution scheme results in the significant reduction of the calculation quantity and the simulation time.W modelach krystalizacji typu CAFD (Cellular Automaton + Finite Difference), zarówno kształt rosnących ziaren, jak i ich końcowa struktura nie są zakładane z góry, lecz są wynikiem modelowania. W trakcie modelowania należy uwzględnić szereg zjawisk fizycznych takich jak: przenoszenie ciepła, dyfuzja składników w ciekłej i stałej fazie, kinetyka zarodkowania, rozrost ziaren i zanikanie fazy ciekłej i innych. Metody numeryczne, uwzględniające wszystkie wyżej wymienione zjawiska są bardzo czasochłonne. Wąskim gardłem modelu jest wyznaczenie pola temperatury. Z tego powodu została podjęta próba przyśpieszenia rozwiązania numerycznego Gaussa-Seidela (GS) dla schematu niejawnego obliczenia pola temperatury za pomocą zróżnicowanej ilości kolejnych przybliżeń stosowanych w iteracyjnym rozwiązaniu układu równań różnicowych modelu. Wyniki modelowania numerycznego otrzymane z wykorzystaniem zarówno znanego sposobu GS, jak i zróżnicowanej ilości iteracji porównano z rozwiązaniem analitycznym zadania Schwarza. Pokazano, że zmniejszenie tolerancji obliczeń znacznie wydłuża czas potrzebny dla uzyskania rozwiązania i ma niewielki wpływ na średniokwadratowe odchylenie wyników obu rozwiązań od rozwiązania wzorcowego. Zaproponowany schemat pozwala znacznie zredukować ilość wykonywanych operacji i powoduje skrócenie czasu modelowania

Metoda CALPHAD – nowoczesna technika pozyskiwania danych termodynamicznych

Pierwsze spotkanie z metodą CALPHAD zazwyczaj zaczyna się od pytania co właściwie można za jej pomocą obliczyć? Niniejsza praca przytacza kilka przykładów w jaki sposób można pozyskać interesujące nas rezultaty obliczeń oraz jak je interpretować, a także definiuje obszar, w którym to podejście jest pomocne. Pokazano wzory obliczeń pomocnych przy wyznaczaniu parametrów procesów technologicznych, takich jak temperatury zalewania oraz obróbki cieplnej. Przedstawiono również sposób wyznaczenia wpływu pierwiastków stopowych na przesunięcie punktów w układzie żelazo-węgiel. Podano ideę obliczeń równowagowych oraz nierównowagowych aby pomóc w zdaniu sobie sprawy, że same wyniki są tylko jednym z elementów potrzebnych do zrozumienia rozważanego układu oraz, że wymagana jest odpowiednia znajomość materiału, nad którym się pracuje, aby dojść do wiarygodnych wniosków. Zostało także zaznaczone, że metoda CALPHAD, dzięki możliwości obliczeń układów wyższych rzędów z uwzględnieniem wielu faz, jest niezmiernie pomocna w tematach związanych z modelowaniem przemian fazowych