Strange Attractors in Dissipative Nambu Mechanics : Classical and Quantum Aspects

We extend the framework of Nambu-Hamiltonian Mechanics to include dissipation in $R^{3}$ phase space. We demonstrate that it accommodates the phase space dynamics of low dimensional dissipative systems such as the much studied Lorenz and R\"{o}ssler Strange attractors, as well as the more recent constructions of Chen and Leipnik-Newton. The rotational, volume preserving part of the flow preserves in time a family of two intersecting surfaces, the so called {\em Nambu Hamiltonians}. They foliate the entire phase space and are, in turn, deformed in time by Dissipation which represents their irrotational part of the flow. It is given by the gradient of a scalar function and is responsible for the emergence of the Strange Attractors. Based on our recent work on Quantum Nambu Mechanics, we provide an explicit quantization of the Lorenz attractor through the introduction of Non-commutative phase space coordinates as Hermitian $N \times N$ matrices in $R^{3}$. They satisfy the commutation relations induced by one of the two Nambu Hamiltonians, the second one generating a unique time evolution. Dissipation is incorporated quantum mechanically in a self-consistent way having the correct classical limit without the introduction of external degrees of freedom. Due to its volume phase space contraction it violates the quantum commutation relations. We demonstrate that the Heisenberg-Nambu evolution equations for the Quantum Lorenz system give rise to an attracting ellipsoid in the $3 N^{2}$ dimensional phase space.Comment: 35 pages, 4 figures, LaTe

Функциональный метод локализации и принцип инвариантности Ла-Салля

A functional method of localization has proved to be good in solving the qualitative analysis problems of dynamic systems. Proposed in the 90s, it was intensively used when studying a number of well-known systems of differential equations, both of autonomous and of non-autonomous discrete systems, including systems that involve control and / or disturbances.The method essence is to construct a set containing all invariant compact sets in the phase space of a dynamical system. A concept of the invariant compact set includes equilibrium positions, limit cycles, attractors, repellers, and other structures in the phase space of a system that play an important role in describing the behavior of a dynamical system. The constructed set is called localizing and represents an external assessment of the appropriate structures in the phase space.Relatively recently, it was found that the functional localization method allows one to analyze a behavior of the dynamical system trajectories. In particular, the localization method can be used to check the stability of the equilibrium positions.Here naturally emerges an issue of the relationship between the functional localization method and the well-known La Salle invariance principle, which can be regarded as a further development of the method of Lyapunov functions for establishing stability. The article discusses this issue.В задачах качественного анализа динамических систем хорошо зарекомендовал себя функциональный метод локализации. Предложенный в 90-хх гг., он активно использовался в исследовании ряда известных систем дифференциальных уравнений, как автономных, так и неавтономных, дискретных систем, в том числе систем включающих управление и/или возмущения.Суть метода состоит в построении такого множества в фазовом пространстве динамической системы, которое содержит все инвариантные компактные множества. Понятие инвариантного компактного множества включает положения равновесия, предельные циклы, аттракторы, репеллеры и другие структуры в фазовом пространстве системы, играющие важную роль в описании поведения динамической системы. Построенное множество называют локализирующим. Оно служит внешней оценкой соответствующих структур в фазовом пространстве.Относительно недавно было установлено, что функциональный метод локализации позволяет анализировать поведение траекторий динамической системы. В частности, с помощью метода локализации можно проверять устойчивость положений равновесия.Здесь естественным образом возникает вопрос о связи функционального метода локализации с известным принципом инвариантности Ла-Салля, который можно рассматривать как дальнейшее развитие метода функций Ляпунова для установления устойчивости. Настоящая статья посвящена обсуждению этого вопроса