에르미트 및 특수 에르미트 전개에 관한 문제들

학위논문(박사) -- 서울대학교대학원 : 자연과학대학 수리과학부, 2021.8. 이상혁.본 논문에서는 $\mathbb R^d$ 위의 에르미트 및 $\mathbb C^d$ 위의 특수 에르미트 전개와 관련된 문제를 연구한다. 에르미트와 특수 에르미트 함수는 조화해석학, 미분 방정식 및 양자역학과 같은 다양한 분야에서 특히 중요한 특수 함수이다. $\Pi_\lambda^H$ 와 $\Pi_\lambda^L$ 를 각각 에르미트 및 특수 에르미트 전개에 대한 스펙트럼 사영 연산자라 정의할 때, 본 논문은 $\Pi_\lambda^H$, $\Pi_\lambda^L$의 $L^p$--$L^q$ 노름의 최적 유계 문제를 고려한다. 이 문제는 $p$ 또는 $q$가 $2$일 때에 한하여 주로 연구되어왔다. 첫째, $\Pi_\lambda^H$ 의 국소 $L^p$--$L^q$ 노름을 완전히 특정하였다. 둘째, 코흐와 타타루의 결과 이후로 미해결로 남아있었던 $\Pi_\lambda^H$의 $L^2$--$L^{{2(d+3)}/{(d+1)}}$ 끝점 계측을 $d$가 $5$ 이상일 때 증명하였다. 셋째, $\Pi_\lambda^H$의 고른 유계가 성립하는 범위를 확장하였다. 이의 응용으로, 에르미트 연산자에 대한 새로운 $L^p$--$L^q$ 역핵 계측을 얻어내었으며, $L^\infty_t L^{d/2,\infty}_x$에 포함된 퍼텐셜을 가지는 열 방정식에 대한 강 유일성 문제를 해결하였다. 마지막으로, 특수 에르미트 전개에 대해서 $\Pi_\lambda^L$의 유계성을 완전히 규명하였으며 뒤틀린 라플라스 연산자에 대한 새로운 $L^p$--$L^q$ 역핵 계측을 얻었다. 또한, 본 논문은 에르미트와 특수 에르미트 전개에 대한 $L^p$ 보크너-리즈 가합성 문제를 조사한다. 이전 연구는 일반적으로 $L^2$--$L^p$ 스펙트럼 사영 계측을 기반으로 하였다. 그러나 이러한 전략에는 분명한 기술적 결함이 존재해서 스타인-토마스 정리를 넘어서는 최적 결과는 이전에 알려진 바가 없었다. 커널을 구체적으로 묘사하는 공식과 진동 적분에 대한 최근 결과를 기반으로 하는 새로운 접근을 통해, 2차원에서는 최적 범위의 가합성을 증명하였고, 더 높은 차원에서는 이전에 알려진 범위를 크게 확장하였다. 또한, 에르미트 보크너-리즈 평균의 $L^p$ 가합성 지수에 대한 새로운 필요조건을 증명하였다. 이는 기존의 가합성에 대한 추측을 반증하고, 새로운 가설을 제시한다.In this thesis, we study problems related to the Hermite expansion on $\mathbb R^d$ and the special Hermite expansion on $\mathbb C^d$. Hermite and special Hermite functions are special functions of particular importance in diverse fields such as harmonic analysis, differential equations, and quantum mechanics. Let $\Pi_\lambda^H$ and $\Pi_\lambda^L$ respectively denote the spectral projection operators for the Hermite and the special Hermite expansions. We consider the optimal bounds on the $L^p$--$L^q$ operator norms of $\Pi_\lambda^H$, $\Pi_\lambda^L$. The problem has been mainly studied when $p$ or $q$ is $2$. First of all, we completely characterize the local $L^p$--$L^q$ bounds of $\Pi_\lambda^H$. Secondly, we obtain the $L^2$--$L^{{2(d+3)}/{(d+1)}}$ endpoint estimate for $\Pi_\lambda^H$ when $d\ge 5$, which has been left open since the work of Koch and Tataru. Thirdly, we extend the range of the uniform boundedness of $\Pi_\lambda^H$. As its applications, we prove new $L^p$--$L^q$ resolvent estimates for the Hermite operator and solve the strong unique continuation problem for the heat equation with the potentials contained in $L^\infty_t L^{d/2,\infty}_x$. Lastly, for the special Hermite expansion, we obtain a complete picture for the boundedness of $\Pi_\lambda^L$ and show new $L^p$--$L^q$ resolvent estimates for the twisted Laplacian. We also investigate the $L^p$ Bochner-Riesz summability problem for the Hermite and special Hermite expansions, which is one of the most important problems in harmonic analysis. The previous studies were commonly based on the $L^2$--$L^p$ spectral projection estimates. However, such a strategy clearly has a technical shortcoming so that no sharp results were previously known beyond the Tomas-Stein theorem. By a new approach based on the explicit formula for the kernel and recent results for the oscillatory integral, we establish the summability on the sharp range of $p$ in two dimensions and significantly improve the previously known range in higher dimensions. Also, we prove a new necessary condition on the $L^p$ summability index for the Hermite Bochner-Riesz means. This invalidates the conventional conjecture and proposes a new conjecture on the Bochner-Riesz summability.1 Introduction 1 2 Hermite spectral projection estimates 12 2.1 Introduction 12 2.2 The projection operator $\Pi_\lambda^H$ and $TT^*$ argument 21 2.3 Local estimate: Proof of Theorem 2.1.5 34 2.4 Localization on annuli and $L^2$ estimate 54 2.5 Unbalanced improvement: Proof of Theorem 2.1.3 65 2.6 Proof of Proposition 2.5.7 76 2.7 Estimates with $p, q$ off the line of duality over $A_\mu^\pm$ 92 3 Special Hermite spectral projection estimates 117 3.1 Introduction 117 3.2 Preliminaries 121 3.3 Proof of Theorem 3.1.2: Sufficiency part 125 3.4 Proof of Theorem 3.1.2: Sharpness 130 4 Applications of spectral projection estimates 134 4.1 Introduction 134 4.2 Resolvent estimate for the Hermite operator 140 4.3 Carleman inequality for the heat operator: Proof of Theorem 4.1.1 145 4.4 Resolvent estimate for the twisted Laplacian 149 5 Bochner-Riesz means for the Hermite and special Hermite expansions 153 5.1 Introduction 153 5.2 Bochner-Riesz means for the Hermite expansion: Proof of Theorem 5.1.2 . . 158 5.3 Bochner-Riesz means for the special Hermite expansion: Proof of Theorem 5.1.4 . . 178 5.4 Lower bound on the summability index of $S_\lambda^\delta(H)$ 191 Abstract (in Korean) 205 Acknowledgement (in Korean) 206박

Wifi-based Indoor Localization

학위논문 (박사)-- 서울대학교 대학원 : 기계항공공학부, 2016. 2. 김현진.With recent advances in smartphone industry, an indoor localization using smartphone becomes of increasing interests due to the need for indoor position information where GPS is not available. Fortunately, prevalence of wireless access points (APs), which are built in many buildings and public spaces, helps developing a wifi-based indoor localization without additional installation. This thesis considers a wifi-based indoor localization, where the wifi received signal strength (RSS) as a function of distance between a receiver (smartphone) and a transmitter (wireless AP) is applied to estimate both the floor level and position. The wifi RSS is non-linear and varying due to interference of the other radio signals and obstacles. Especially, signal attenuation and multipath effect are the major impediment against accurate localization. Because of those effects, the estimation methods using a propagation model of wifi RSS such as a triangulation and a least-square are inaccurate. This thesis proposes learning-based localization methods as a solution for those issues by training a nonlinear and unpredictable wifi RSS model. In particular, a semi-supervised learning algorithm is efficient for localization by removing a need for a large amount of the labeled training data. For example, in indoor localization, the labeled training data have to be collected manually. On the other hand, unlabeled data can be easily collected by recording wifi signal strength without the labels such as the position information and floor level. By using a large amount of unlabeled data and a small amount of labeled data, the semi-supervised learning algorithm improves efficiency and accuracy of the localization. The main contribution compared to the existing indoor localization can be found in i) mobile fingerprinting and ii) mapless localization. First, we address the efficiency for obtaining position training data, which is called fingerprinting. In the conventional fingerprinting, we have to collect the training data manually, which needs much time and effort of human. This thesis suggests a mobile fingerprinting based on a new semi-supervised learning algorithm, which provides the accurate pseudolabels of the unlabeled data. Second, by considering both privacy and communication issues between a service provider and user, this thesis proposes a mapless localization. With a concept of the crowdsourcing, we use the estimated locations obtained from the crowds, as the samples for learning a map. This is also based on a semi-supervised learning technique, and experimental results validate that more accurate map is learned as more participants join our localization system. Our final contribution involves field experiments in an office building at Seoul National University. We obtain training datapoints from different smartphone users who are not given any guideline about restricted attitude to carry the smartphone, for example, not to swing the smartphone or not to put it in pocket. From the experimental results, we find out that successful estimation of floor level and position. Also, the learned map is very close to the true map so that mapless localization is almost accurate as the result using the true map information.Chapter 1 Introduction 1 1.1 Motivation 1 1.2 Literature review 3 1.2.1 Wifi-based indoor localization 3 1.2.2 Semi-supervised learning 4 1.2.3 Mapless localization 6 1.3 Objectives and contribution 6 1.3.1 Pattern recognition of wifi RSS for indoor localization 7 1.3.2 Pseudolabelling for efficient training data collection 8 1.3.3 Mapless localization by trajectory learning 9 1.4 Thesis organization 11 Chapter 2 Feature Extraction from Wifi RSS data for Floor Classification and Landmark Detection 12 2.1 Characteristics of smartphone sensors 13 2.1.1 Inertial measurement unit (IMU) in smartphone 13 2.1.2 Wifi RSS characteristics 17 2.2 Semi-supervised learning for feature extraction 24 2.2.1 Generalized eigenvalue problem 24 2.2.2 PCA 25 2.2.3 FDA 26 2.2.4 Semi-supervised combination of FDA and PCA 27 2.3 Experimental results 29 2.3.1 Classification 29 2.3.2 Landmark detection 32 2.3.3 Effect of balancing parameter 34 Chapter 3 Mobile Fingerprinting and Pseudolabelling for Positioning 36 3.1 Learning based indoor localization 37 3.2 Basic semi-supervised optimization 38 3.2.1 Optimization framework 38 3.2.2 Laplacian embedded regularized least square (LapERLS) 43 3.3 Hodric-prescott filter optimization 46 3.4 Proposed semi-supervised optimization for pseudolabelling of mobile fingerprinting 47 3.5 Expereimental results of pseudolabelling 51 3.5.1 Sinusoidal trajectory 53 3.5.2 Overlapped trajectory 56 3.5.3 Revisiting the learned trajectory 56 3.5.4 Comparison with other semi-supervised learning algorithms 57 Chapter 4 Mapless Indoor Localization 59 4.1 Particle filter based localization framework 60 4.2 Gaussian process regression for modelling wifi RSS likelihood 63 4.2.1 Problem formulation 63 4.2.2 Hyperparameter selection 66 4.2.3 Building a prior 66 4.2.4 Experimental localization result 68 4.3 Map learning from a crowd 70 4.3.1 Concept of learning indoor trajectory 70 4.3.2 Trajectory learning algorithm 71 4.3.3 Experimental results of mapless localization 75 Chapter 5 Integrated Expereimental Result 77 5.1 Experimental setup 77 5.2 Result of map learning 79 5.3 Results of localization and floor classification 83 Chapter 6 Conclusion 90 References 92 Abstract (in Korean) 99Docto

논평 / ' 부익부 빈익빈 ' 을 심화시키는 한국 주택시장의 왜곡 구조

하 교수의 논문은 전반적으로 이주 잘 짜여져 있고 설득력이 있다. 그러나 그 중에서 보완되어야 할 몇 가지 부분에 한정하여 논평하고자 한다. 첫번째 문제는 주택 문제를 둘러싼 자금의 흐름에 관한 것이다. 즉 주택을 배분하는 과정에서 근로소득(Inocome)을 근거로 하는가 자산(Wealth)을 근거로 하는가 하는 문제이다. 주택 문제가 안정된 나라에서는 주택을 구입하든 임차하든간에 대체로 월 근로소득의 1/4을 월 상환금 내지는 월세로 내고 있다. 이러한 사회 속에서 는 몫돈 마련의 부담이 없기 때문에 성실하게 일하는 직장인들이 큰 어려움 없이 주거 문제를 해결할 수 있다. 이에 비해 주택금융제도가 발달되지 못해 거의 현금 거래만을 하고 있는 우리 나라에서는 근로소득으로 주거 문제를 해결하는 게 불가능하다. 더군다나 전세 위주로 되어있는 임대 시장의 특수 성 때문에 모든 세입자들이 몫돈 마련의 부담을 안고 있다. 또한 1년 간의 임금상승액의 2~3배 정도로 전세금이 오르기 때문에 근로소득으로는 감당할 길이 없다. 따라서 모든 국민들이 부채가 늘어나고 부모 친지의 재산 이전을 통해서 주거 문제를 해결하다 보니 자산이 없는 근로소득 계층은 아무런 대책을 마련할 수 없다. 한국의 주택 분배 구조는 이런 의미에서 가장 철저하게 부익부 빈익빈(富益富貧益貧)을 영속시키는 구조적 모순을 안고 있다

Object tracking using Support Vector Regression in Wireless Sensor Networks

본 논문은 센서 네트워크를 이용하여 사람의 위치를 추정하기 위한 방법으로 지원 벡터 회귀법을 제안한다. 기존의 지원 벡터 회귀법을 이용한 추정 기법은 데이터의 양이 많아짐에 따라 실시간 게산 수행이 느려지며 에너지 효율이 높지 않은 단점을 갖고 잇다. 이러한 문제를 해결하기 위해, 이 논문은 실험공간에 뿌려진 모든 센서 노드 중에서, 미확인 물체의 위치에 따라 비교적 좋은 정보를 가지고 잇는 센서 노드들로 소그룹을 형성하는 방법을 제시한다. 각 그룹 내의 노드들로부터 얻어진 데이터를 사용하여 지원 벡터 회귀 알고리듬을 수행하여, 결과로써 사람의 위치 추정에 적용 한다. PIR(Passive InfraRed)과 RSSI(Received signal Strength Indicator) 센서 두 종류를 사용한 실험 결과로부터 제안된 알고리즘이 기존의 지원 벡터 회귀 알고리듬보다 계산 수행과 에어니 효율 관점에서 더 좋은 성능을 보임을 검증하였다.DAPA/ADD/MEM