Stability for retarded functional differential equations

It is known that retarded functional differential equations can be regarded as Banach-space-valued generalized ordinary differential equations (GODEs). In this paper, some stability concepts for retarded functional differential equations are introduced and they are discussed using known stability results for GODEs. Then the equivalence of the different concepts of stabilities considered here are proved and converse Lyapunov theorems for a very wide class of retarded functional differential equations are obtained by means of the correspondence of this class of equations with GODEs.Відомо, що функціональні диференціальні рівняння із запізненням можна розглядати як узагальнені звичайні диференціальні рівняння (УЗДР) зі значеннями у банаховому просторі. У статті введено деякі концепції стабільності для функціональних диференціальних рівнянь із запізненням, а також обговорено ці концепції з використанням відомих результатів щодо стабільності УЗДР. Доведено еквівалентність різних концепцій стабільності, що розглянуті у даній роботі. Для дуже широкого класу функціональних диференціальних рівнянь із запізненням одержано зворотні теореми Ляпунова на основі того факту, що цей клас рівнянь відповідає УЗДР

The abstract renewal equation

The abstract Perron-Stieltjes integral defined in the Kurzweil-Henstock sense is used for introducing Stieltjes convolutions. The approach is used for obtaining basic existence result for the abstract renewal equation which was studied e. g. by Diekmann, Gyllenberg and Thieme