Abstract Perron-Stieltjes integral

summary:Fundamental results concerning Stieltjes integrals for functions with values in Banach spaces are presented. The background of the theory is the Kurzweil approach to integration, based on Riemann type integral sums (see e.g. \cite4). It is known that the Kurzweil theory leads to the (non-absolutely convergent) Perron-Stieltjes integral in the finite dimensional case. In \cite3 Ch. S. Honig presented a Stieltjes integral for Banach space valued functions. For Honig's integral the Dushnik interior integral presents the background. \endgraf It should be mentioned that abstract Stieltjes integration was recently used by O. Diekmann, M. Gyllenberg and H. R. Thieme in \cite1 and \cite2 for describing the behaviour of some evolutionary systems originating in problems concerning structured population dynamics

Linear operators in the space of regulated functions

summary:Representation of bounded and compact linear operators in the Banach space of regulated functions is given in terms of Perron-Stieltjes integral

Stability for retarded functional differential equations

It is known that retarded functional differential equations can be regarded as Banach-space-valued generalized ordinary differential equations (GODEs). In this paper, some stability concepts for retarded functional differential equations are introduced and they are discussed using known stability results for GODEs. Then the equivalence of the different concepts of stabilities considered here are proved and converse Lyapunov theorems for a very wide class of retarded functional differential equations are obtained by means of the correspondence of this class of equations with GODEs.Відомо, що функціональні диференціальні рівняння із запізненням можна розглядати як узагальнені звичайні диференціальні рівняння (УЗДР) зі значеннями у банаховому просторі. У статті введено деякі концепції стабільності для функціональних диференціальних рівнянь із запізненням, а також обговорено ці концепції з використанням відомих результатів щодо стабільності УЗДР. Доведено еквівалентність різних концепцій стабільності, що розглянуті у даній роботі. Для дуже широкого класу функціональних диференціальних рівнянь із запізненням одержано зворотні теореми Ляпунова на основі того факту, що цей клас рівнянь відповідає УЗДР

The abstract renewal equation

The abstract Perron-Stieltjes integral defined in the Kurzweil-Henstock sense is used for introducing Stieltjes convolutions. The approach is used for obtaining basic existence result for the abstract renewal equation which was studied e. g. by Diekmann, Gyllenberg and Thieme