Edwards Form Elliptic Curves and Cryptography

Исследованы свойства нового класса эллиптических кривых в форме Эдвардса, которые полезны для решения задач асимметричной криптографии. Обоснована новая классификация кривых в обобщенной форме Эдвардса над конечным полем нечетной характеристики с разбиением их на три непересекающихся класса в зависимости от свойств квадратичности их параметров a и d. Дан анализ свойств циклических полных кривых и нециклических скрученных кривых Эдвардса над простым полем, доказаны 12 теорем о новых сойствах этих кривых. На основе свойства делимости точек кривой на 2 предложен оригинальный метод нахождения порядка точек кривой, в сотни раз более производительный в сравнении со стандартным. Проведен сравнительный анализ скорости экспоненцирования точки для кривых в форме Эдвардса и Вейерштрасса с выигрышем первых в 1.5 – 1.6 раза. Рассчитаны и табулированы общесистемные параметры криптостойких полных кривых Эдвардса над простым полем и расширениями малых простых полей, а также скрученных кривых Эдвардса над простым полем. Они предлагаются для внедрения в новом национальном стандарте цифровой подписи. Приведен обзор асимметричных криптопротоколов и известных стандартов цифровой подписи на эллиптических кривых. Для студентов, аспирантов, программистов и ученых, специализирующихся в области асимметричной криптографии и безопасности информации.Досліджуються властивості нового класу еліптичних кривих у вигляді Едвардса, що є корисним для вирішення проблем асиметричної криптографії. Обгрунтовано нова класифікація кривих в узагальненої формі Едвардса над кінцевим полем непарної характеристики з розділенням їх на три непересічних класи у залежності від властивостей параметрів а і d. Дано аналіз властивостей циклічних повних кривих та нециклічних скручених кривих Едвардса над простим полем, доведено 12 теорем о нових властивостях ціх кривих. На основі властивості подільності точки кривої на 2 запропоновано оригінальний метод пошуку порядку точок кривої, у сотні разів потужніший, ніж стандартні. Дано порівняльна характеристика швидкості експоненціювання точок для кривих у вигляді Едвардса і Веєрштраса з виграшем перших в 1,5 - 1,6 рази. Обчислювані і табульовані загально системні параметри криптостійких повних кривих Едвардса над простим полем і розширеннями невеликих простих полей, а також скручених кривих Едвардса над простим полем. Для студентів, аспірантів, програмістів і вчених, що спеціалізуються в галузі асиметричної криптографії та інформаційної безпеки.The properties of a new class of elliptic curves in the Edwards form, which is useful for solving of asymmetric cryptography problems are investigated. The new classification has been substantiated, in consolidated Edwards curves form over a finite field of odd characteristic with splitting them into three disjoint classes depending on the properties of parameters a and d. The analysis of properties of complete Edwards curves and noncyclic twisted Edwards curves over a prime field is given, and the 12 theorems about new properties of these curves are proven. On the basis of the properties of the points halfing an original method of finding points order is proposed, hundreds of times more powerful than the standard method. The comparative analysis of scalar multiplication of points for curves in the Edwards form of and Weierstrass form, and first win at 1.5-1.6 times. Calculated and tabulated cryptographic system-parameters of complete Edwards curves over a prime field and extensions of small prime fields and twisted Edward curves over prime fields. For students, postgraduates, programmers and scientists specializing in asymmetric cryptography and information security