25 research outputs found
Treewidth and Hyperbolicity of the Internet
International audienceWe study the measurement of the Internet according to two graph parameters: treewidth and hyperbolicity. Both tell how far from a tree a graph is. They are computed from snapshots of the Internet released by CAIDA, DIMES, AQUALAB, UCLA, Rocketfuel and Strasbourg University, at the AS or at the router level. On the one hand, the treewidth of the Internet appears to be quite large and being far from a tree with that respect, reflecting some high degree of connectivity. This proves the existence of a well linked core in the Internet. On the other hand, the hyperbolicity (as a graph parameter) appears to be very low, reflecting a tree-like structure with respect to distances. Additionally, we compute the treewidth and hyperbolicity obtained for classical Internet models and compare with the snapshots
Structure vs métrique dans les graphes
International audienceL'émergence de réseaux de très grande taille oblige à repenser de nombreux problèmes sur les graphes : en apparence simples, mais pour lesquels les algorithmes de résolution connus ne passent plus a l'échelle. Une approche possible est de mieux comprendre les propriétés de ces réseaux complexes, et d'en déduire de nouvelles méthodes plus efficaces. C'est dans ce but que nous démontrons des relations générales entre les propriétés structurelles des graphes et leurs propriétés métriques. Nos relations se déduisent de nouvelles bornes serrées sur le diamètre des séparateurs minimaux dans un graphe. Plus précisément , nous prouvons que dans tout graphe G le diamètre d'un séparateur minimal S dans G est au plus (l(G)/2) · (|S| − 1), avec l(G) la plus grande taille d'un cycle isométrique dans G. Nos preuves reposent sur des propriétés de connexité dans les puissances d'un graphe. Une conséquence de nos résultats est que pour tout graphe G, sa longueur arborescente (treelength) est au plus l(G)/2 fois sa largeur arborescente (treewidth). En complément de cette relation, nous bornons la largeur arborescente par une fonction de la longueur arborescente et du genre du graphe. Cette borne se généralise à la famille des graphes qui excluent un apex-graph H comme mineur. Par conséquent , nous obtenons un algorithme très simple qui, étant donné un graphe excluant un apex-graph fixé comme mineur, calcule sa largeur arborescente en temps O(n²) et avec facteur d'approximation O(l(G))
A note on isoperimetric inequalities of Gromov hyperbolic manifolds and graphs
We study in this paper the relationship of isoperimetric inequality and hyperbolicity for
graphs and Riemannian manifolds. We obtain a characterization of graphs and Riemannian
manifolds (with bounded local geometry) satisfying the (Cheeger) isoperimetric inequality, in
terms of their Gromov boundary, improving similar results from a previous work. In particular,
we prove that having a pole is a necessary condition to have isoperimetric inequality and,
therefore, it can be removed as hypothesis.First author supported in part by a Grant from Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades
(PGC2018-098321-B-I00), Spain. Second author supported in part by two Grants from Ministerio de
Economía y Competitividad, Agencia Estatal de Investigación (AEI) and Fondo Europeo de Desarrollo
Regional (FEDER) (MTM2016-78227-C2-1-P and MTM2017-90584-REDT), Spain. Also, the research of
the second author was supported by the Madrid Government (Comunidad de Madrid-Spain) under the
Multiannual Agreement with UC3M in the line of Excellence of University Professors (EPUC3M23), and in
the context of the V PRICIT (Regional Programme of Research and Technological Innovation)
Slimness of graphs
Slimness of a graph measures the local deviation of its metric from a tree
metric. In a graph , a geodesic triangle with
is the union of three shortest
paths connecting these vertices. A geodesic triangle is
called -slim if for any vertex on any side the
distance from to is at most , i.e. each path
is contained in the union of the -neighborhoods of two others. A graph
is called -slim, if all geodesic triangles in are
-slim. The smallest value for which is -slim is
called the slimness of . In this paper, using the layering partition
technique, we obtain sharp bounds on slimness of such families of graphs as (1)
graphs with cluster-diameter of a layering partition of , (2)
graphs with tree-length , (3) graphs with tree-breadth , (4)
-chordal graphs, AT-free graphs and HHD-free graphs. Additionally, we show
that the slimness of every 4-chordal graph is at most 2 and characterize those
4-chordal graphs for which the slimness of every of its induced subgraph is at
most 1
Structure vs métrique dans les graphes
International audienceL'émergence de réseaux de très grande taille oblige à repenser de nombreux problèmes sur les graphes : en apparence simples, mais pour lesquels les algorithmes de résolution connus ne passent plus a l'échelle. Une approche possible est de mieux comprendre les propriétés de ces réseaux complexes, et d'en déduire de nouvelles méthodes plus efficaces. C'est dans ce but que nous démontrons des relations générales entre les propriétés structurelles des graphes et leurs propriétés métriques. Nos relations se déduisent de nouvelles bornes serrées sur le diamètre des séparateurs minimaux dans un graphe. Plus précisément , nous prouvons que dans tout graphe G le diamètre d'un séparateur minimal S dans G est au plus (l(G)/2) · (|S| − 1), avec l(G) la plus grande taille d'un cycle isométrique dans G. Nos preuves reposent sur des propriétés de connexité dans les puissances d'un graphe. Une conséquence de nos résultats est que pour tout graphe G, sa longueur arborescente (treelength) est au plus l(G)/2 fois sa largeur arborescente (treewidth). En complément de cette relation, nous bornons la largeur arborescente par une fonction de la longueur arborescente et du genre du graphe. Cette borne se généralise à la famille des graphes qui excluent un apex-graph H comme mineur. Par conséquent , nous obtenons un algorithme très simple qui, étant donné un graphe excluant un apex-graph fixé comme mineur, calcule sa largeur arborescente en temps O(n²) et avec facteur d'approximation O(l(G))