Optimal Rate of Direct Estimators in Systems of Ordinary Differential Equations Linear in Functions of the Parameters

Many processes in biology, chemistry, physics, medicine, and engineering are modeled by a system of differential equations. Such a system is usually characterized via unknown parameters and estimating their 'true' value is thus required. In this paper we focus on the quite common systems for which the derivatives of the states may be written as sums of products of a function of the states and a function of the parameters. For such a system linear in functions of the unknown parameters we present a necessary and sufficient condition for identifiability of the parameters. We develop an estimation approach that bypasses the heavy computational burden of numerical integration and avoids the estimation of system states derivatives, drawbacks from which many classic estimation methods suffer. We also suggest an experimental design for which smoothing can be circumvented. The optimal rate of the proposed estimators, i.e., their $\sqrt n$-consistency, is proved and simulation results illustrate their excellent finite sample performance and compare it to other estimation approaches

Time-course window estimator for ordinary differential equations linear in the parameters

In many applications obtaining ordinary differential equation descriptions of dynamic processes is scientifically important. In both, Bayesian and likelihood approaches for estimating parameters of ordinary differential equations, the speed and the convergence of the estimation procedure may crucially depend on the choice of initial values of the parameters. Extending previous work, we show in this paper how using window smoothing yields a fast estimator for systems that are linear in the parameters. Using weak assumptions on the measurement error, we prove that the proposed estimator is -consistent. The estimator does not require an initial guess for the parameters and is computationally fast and, therefore, it can serve as a good initial estimate for more efficient estimators. In simulation studies and on real data we illustrate the performance of the proposed estimator

Inference of Gaussian graphical models and ordinary differential equations

Netwerken vormen een handig instrument bij het visualiseren van systemen bestaand uit elementen die onderling interactie aangaan. Genregulatienetwerken, bijvoorbeeld, zijn complexe systemen die bestaan uit genen, eiwitten en andere moleculen. De elementen van een dergelijk systeem worden weergegeven door knooppunten, die door lijnen worden verbonden op het moment dat de bijbehorende elementen met elkaar in interactie zijn.In veel wetenschappelijke disciplines vormt het blootleggen van de structuur van een netwerk een belangrijk en ingewikkeld probleem. Vaak is er weinig bekend over een systeem en moet men uitgaan van meetgegevens uit knooppunten om een inschatting te kunnen maken van de structuur van het bijbehorende netwerk. Deze meetgegevens zijn echter aan ruis onderhevig. Wanneer de structuur van de interacties bekend is, staan we voor een andere uitdaging: of het nou gaat om het beschrijving van bruggen die een hevige wind moeten weerstaan of om de verspreiding van een infectieziekte, de vraag is hoe we op basis van dezelfde aan ruis onderhevige data kunnen bepalen hoe de fijne dynamica van het systeem in elkaar zit.In dit proefschrift stellen we enkele aanpassingen voor op bestaande methodes, om het schatten van de structuur van en interacties binnen netwerken en dynamische systemen te verbeteren.Enkele toepassingen van de methodes die we ontwikkelen zijn: het voorspellen van het aantal individuen dat tijdens de kindertijd mazelen krijgt, en inferentie van de interactie tussen genen en eiwitten in de E. colibacterie.Networks provide a simple way to visualize a system of interacting elements. For example, gene regulatory networks are complex systems whose elements are genes, proteins and other molecules. The elements of this system are represented by nodes and lines are drawn between them if they interact with each other. In many sciences uncovering the network structure is an important and difficult problem. With a limited knowledge about the system noisy measurements on the nodes should be used to estimate the network. When we know the structure of the interactions, another major obstacle is to learn the fine dynamics of the system using the same noisy data, from describing bridges subject to strong winds to the spread of an infectious disease.In this thesis we propose modifications of existing methods to improve the estimation of networks and dynamical systems.Some applications of methods we develop include: predicting the number of individuals that get infected by childhood disease measles, reconstructing transcription factor activities in streptomyces coelicolor bacterium, and inferring the interaction between genes and proteins in Escherichia coli bacterium