Ultrafilters on GG-spaces

For a discrete group $G$ and a discrete $G$-space $X$, we identify the Stone-\v{C}ech compactifications $\beta G$ and $\beta X$ with the sets of all ultrafilters on $G$ and $X$, and apply the natural action of $\beta G$ on $\beta X$ to characterize large, thick, thin, sparse and scattered subsets of $X$. We use $G$-invariant partitions and colorings to define $G$-selective and $G$-Ramsey ultrafilters on $X$. We show that, in contrast to the set-theoretical case, these two classes of ultrafilters are distinct. We consider also universally thin ultrafilters on $\omega$, the $T$-points, and study interrelations between these ultrafilters and some classical ultrafilters on $\omega$

Thin subsets of groups

For a group $G$ and a natural number $m$, a subset $A$ of $G$ is called $m$-thin if, for each finite subset $F$ of $G$, there exists a finite subset $K$ of $G$ such that $|Fg\cap A|\leqslant m$ for every $g\in G\setminus K$. We show that each $m$-thin subset of a group $G$ of cardinality $\aleph_n$, $n= 0,1,...$ can be partitioned into $\leqslant m^{n+1}$ 1-thin subsets. On the other side, we construct a group $G$ of cardinality $\aleph_\omega$ and point out a 2-thin subset of $G$ which cannot be finitely partitioned into 1-thin subsets

Ultrafilters on G-spaces

For a discrete group G and a discrete G-space X, we identify the Stone-Cech compactifications βG and βX with the sets of all ultrafilters on G and X, and apply the natural action of βG on βX to characterize large, thick, thin, sparse and scattered subsets of X. We use G-invariant partitions and colorings to define G-selective and G-Ramsey ultrafilters on X. We show that, in contrast to the set-theoretical case, these two classes of ultrafilters are distinct. We consider also universally thin ultrafilters on ω, the T-points, and study interrelations between these ultrafilters and some classical ultrafilters on ω

Balleans and G-spaces

We show that every ballean (equivalently, coarse structure) on a set X can be determined by some group G of permutations of X and some group ideal I on G. We refine this characterization for some basic classes of balleans (metrizable, cellular, graph, locally finite, and uniformly locally finite). Then we show that a free ultrafilter U on ω is a T -point with respect to the class of all metrizable locally finite balleans on ω if and only if U is a Q-point. The paper is concluded with a list of open questions.Доведено, що кожен болеан (еквiвалентно, груба структура) на множинi X може бути визначений деякою групою пiдстановок G множини X та деяким груповим iдеалом I на G. Цю характеризацiю уточнено для деяких основних класiв болеанiв: метризовних, стiльникових, графових, локально скiнченних, рiвномiрно локально скiнченних. Далi ми доводимо, що вiльний ультрафiльтр U на ω є T-точкою вiдносно класу метризовних локально скiнченних болеанiв на ω тодi i тiльки тодi, коли U є Q-точкою. Насамкiнець наведено список вiдкритих проблем

Scattered Subsets of Groups

We define scattered subsets of a group as asymptotic counterparts of the scattered subspaces of a topological space and prove that a subset A of a group G is scattered if and only if A does not contain any piecewise shifted IP -subsets. For an amenable group G and a scattered subspace A of G, we show that μ(A) = 0 for each left invariant Banach measure μ on G. It is also shown that every infinite group can be split into ℵ0 scattered subsets.Розріджені підмножини групи визначено, як асимптотичні аналоги розраджених підпросторів топологічного простору. Доведено, що підмножина A групи G є розрідженою тоді i тільки тоді, коли A не містить кусково-зсунутих IP-підмножин. Показано, що для аменабельної групи G та розрідженого підпростору A групи G рівність μ(A)=0 виконується для кожної лівої інваріантної банахової міри μ на G. Встановлено, що кожну нескінченну групу можна розбити на ℵ0 розріджених підмножин

Thin Subsets of Groups

For a group G and a natural number m, a subset A of G is called m-thin if, for each finite subset F of G, there exists a finite subset K of G such that |Fg ∩ A| ≤ m for all g ∈ G \ K. We show that each m-thin subset of an Abelian group G of cardinality ℵn, n = 0, 1, . . . can be split into ≤ mⁿ⁺¹ 1-thin subsets. On the other hand, we construct a group G of cardinality ℵω and select a 2-thin subset of G which cannot be split into finitely many 1-thin subsets.Нехай G — група, m — натуральне число. Пiдмножина A ⊆ G називається m-тонкою, якщо для кожної скiнченної пiдмножини F групи G знайдеться така скiнченна пiдмножина K, що |F g ∩ A| ≤  m для всiх g ∈ G \ K. Доведено, що m-тонку пiдмножину абелевої групи G потужностi ℵn, n = 0, 1, . . . , можна розбити на ≤ mⁿ⁺¹ 1-тонких пiдмножин. Побудовано групу G потужностi ℵω i 2-тонку пiдмножину G, яку не можна розбити на скiнченне число 1-тонких пiдмножин