O método das soluções fundamentais aplicado à reconstrução de fontes concentradas para problemas elípticos

The inverse problem studied in this work is to reconstruct a concentrated source written by a finite linear combination of pointwise Dirac sources, based on information observed at the boundary of the domain. As an example of applications, we can point out: identi cation of hypocenters and epicenters of earthquakes, knowing a priori their effects on the Earth's surface; detection of monopoles and dipoles in magnetoencephalography and electroencephalography, aiding in the diagnosis of brain disorders such as tumors or stroke, for example. In this work, the inverse source problem associated with elliptical operators, such as the Laplace or Helmholtz operator, is solved through an optimization problem. In particular, the inverse source problem is reformulated as a minimization problem of a functional with respect to a set of admissible sources. The Method of Fundamental Solutions (MFS) is used to solve the direct auxiliary problems arising from the reformulation of the inverse problem, in view of all the advantages of this meshfree numerical method, as compared to domain discretization techniques, such as the Finite Di erence Method (MDF) and the Finite Element Method (MEF), for example. In addition, the MFS is used to represent the pointwise Dirac sources that make up the concentrated source by a single point, eliminating the noise that is characteristic when using discretization of the domain in the reconstruction algorithm for the representation of the source. With the numerical results obtained, it is possible to prove the e ciency, effectiveness and robustness of the proposed reconstruction algorithm, even considering noisy data.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPESO problema inverso estudado neste trabalho consiste em reconstruir uma fonte concentrada descrita por uma combinação linear finita de cargas puntuais do tipo delta de Dirac, tendo como base informações observadas na fronteira do domínio. Como exemplo de aplicações, podemos citar: identificação de hipocentros e epicentros de terremotos, conhecendo a priori os seus efeitos sobre a superfície da Terra; detecção de monopólos e dipolos em magnetoencefalogra a e eletroencefalogra a, auxiliando no diagnóstico de distúrbios cerebrais como tumores ou acidente vascular cerebral (AVC), por exemplo. Nesta dissertação, o problema inverso da reconstrução de fontes concentradas associado aos operadores elípticos de Laplace ou de Helmholtz é resolvido através de um problema de otimização. Em particular, o problema inverso é reformulado como um problema de minimização de um funcional de forma a ser minimizado com relação a um conjunto de fontes admissíveis. O Método das Soluções Fundamentais (MSF) é utilizado para resolver os problemas diretos auxiliares provenientes da reformulação do problema inverso, tendo em vista todas as vantagens deste método numérico sem malha, em comparação com técnicas de discretização do domínio, como o Método das Diferenças Finitas (MDF) e o Método dos Elementos Finitos (MEF), por exemplo. Além disso, o MSF é utilizado para representar as cargas puntuais que compõem a fonte concentrada, eliminando o ruído que é característico quando se usa discretização do domínio no algoritmo de reconstrução para a representação de fontes concentradas. Com os resultados numéricos obtidos, é possível comprovar a e ciência, e eficácia e robustez do algoritmo de reconstrução proposto, mesmo considerando-se dados contaminados por ruídos