Two problems in computational geometry

En aquesta tesi s'estudien dos problemes del camp de la geometria computacional. El primer problema és: donat un set S de n punts en el pla en posició general, com de prop són quatre punts de S de ser cocirculars. Definim tres mesures per estudiar aquesta qüestió, la mesura de Tales, la mesura de Voronoi, i la mesura del Determinant. Presentem cotes per la mesura de Tales, i algoritmes per computar aquestes mesures de cocircularitat. També reduïm el problema de computar la cocircularitat emprant la mesura del Determinant al problema de 4SUM. El segon problema és: donat dos sets R i B de punts rojos i blaus respectivament, com computar la discrepància bicromàtica amb caixes i cercles. La discrepància bicromàtica és definida com la diferència entre el nombre de punts vermells i blaus que són a l'interior de la figura examinada. Presentem una comparativa entre algoritmes ja existents per les dues figures. També comparem la discrepància bicromàtica de caixes orientades en els eixos vs. d'orientació general. A més a més, també presentem un nou algoritme per la discrepància en esferes/discs per a altes dimensions, basat en literatura ja existent. També relacionem altres problemes en el tema de separabilitat amb algoritmes sensitius a l'output per la discrepància amb caixes.En esta tesis se estudian dos problemas del campo de la geometría computacional. El primer problema es: dado un set S de n puntos en el plan en posición general, como de cerca son cuatro puntos de S de ser cocirculares. Definimos tres medidas para estudiar esta cuestión, la medida de Tales, la medida de Voronoi, y la medida del Determinante. Presentamos cotas por la medida de Tales, y algoritmos para computar estas medidas de cocircularidad. También reducimos el problema de computar la cocircularidad usando la medida del Determinante al problema de 4SUM. El segundo problema es: dado dos sets R y B de puntos rojos y azules respectivamente, como computar la discrepancia bicromática con cajas y círculos. La discrepancia bicromática es definida como la diferencia entre el número de puntos rojos y azules que están en el interior de la figura examinada. Presentamos una comparativa entre algoritmos ya existentes por las dos figuras. También comparamos la discrepancia bicromática de cajas orientadas en los ejes vs. de orientación general. Además, también presentamos un nuevo algoritmo por la discrepancia en esferas/discos para altas dimensiones, basado en literatura ya existente. También relacionamos otros problemas en el tema de separabilidad con algoritmos sensitivos al output por la discrepancia con cajas.Two different problems belonging to computational geometry are studied in this thesis. The first problem studies: given a set S of n points in the plane in general position, how close are four points of S to being cocircular. We define three measures to study this question, the Thales, Voronoi and Determinant measures. We present bounds on the Thales almost-cocircularity measure over a point set. Algorithms for computing these measures of cocircularity are presented as well. We give a reduction from computing cocircularity using the Determinant measure to the 4SUM problem. The second problem studies: given two sets R and B of red and blue points respectively, how to compute the bichromatic discrepancy using boxes and circles. The bichromatic discrepancy is defined as the difference between the number of red points and blue points inside the shape. We present a comparison of algorithms in the existing literature for the two shapes. Bichromatic discrepancy in axis-parallel boxes .vs non-axis-parallel boxes is also compared. Furthermore, we also present a new algorithm for disk discrepancy in higher dimensions, based on existing literature. We also relate existing problems in separability with existing output sensitive algorithms for bichromatic discrepancy using boxes

Discrepancy norm: approximation and variations

Abstract This paper introduces an approach for the minimization of the discrepancy norm. The general idea is to replace the infinity norms appearing in the definition by L p norms which are differentiable and to make use of this approximation for local optimization. We will show that the discrepancy norm can be approximated up to any ε and the robustness of this approximation is shown. Moreover, analytical formulation of the derivative of the discrepancy correlation function is given. In a following step we extend the results to higher dimensional data and derive the related forms for approximations and differentiations

The discrepancy method in computational geometry

Discrepancy theory investigates how uniform nonrandom structures can be. For example, given n points in the plane, how should we color them red and blue so as to minimize the difference between the number of red points and the number of blue ones within any disk? Or, how should we place n points in the unit squar