Exascale Ready Work-Optimal Matrix Inversion

In dieser Diplomarbeit entwickle ich einen neuen Algorithmus OPT zur Inversion von Matrizen. Ich beweise Eigenschaften zur parallelen Laufzeit und zum Arbeitsaufwand von OPT. OPT ist kombiniert aus Strassens Algorithmus zur Inversion von Matrizen und aus Newton Approximation und basiert auf einer Subroutine zur Matrixmultiplikation. OPT ist ein arbeitsoptimaler Algorithmus, d.h. er benötigt höchstens einen konstanten Faktor mehr Arbeit als jeder andere (arbeitsoptimale) Algorithmus. Außerdem benötigt OPT nur plylogarithmische Zeit auf höchstens O(n3) Prozessoren, wobei die Prozessorzahl von der Multiplikationsroutine bestimmt wird. Damit vereint er diese beiden Vorteile von Strassens Algorithmus und Newton Approximation. Ich beweise eine neue Abschätzung zur numerischen Stabilität von Strassens Algorithmus kombiniert mit Newton Approximation. Im Zuge der Diplomarbeit habe ich OPT, Strassens Inversionsalgorithmus und Newton Approximation zusammen mit einer Matrixcontainerklasse in einem flexiblen Testprogramm implementiert. Ich beschreibe das Design der Implementierung und die Verwendung und Schwierigkeiten von BLAS für die Matrixmultiplikationsroutine. Im experimentellen Teil vergleiche ich die Laufzeit und die numerische Stabilität von OPT mit der Routine aus der Intel Math Kernel Library (MKL). Die konstanten Faktoren des Arbeitsaufwands von OPT erweisen sich als nicht mehr als doppelt so hoch wie die der MKL-Routine. Wie vorhergesagt skaliert OPT sehr gut. Selbst auf einem Computer mit nur acht Kernen ist er bereits deutlich schneller als die MKL-Routine. Bezüglich der numerischen Stabilität werden OPT und Strassens Algorithmus dessen schlechtem Ruf nicht gerecht. Stattdessen erzeugen sie Ergebnisse vergleichbar mit denen der MKL-Routine. Ich entdecke eine unerwartete Instabilität von Newton Approximation wodurch sie schlechtere Ergebnisse erzeugt als alle anderen Algorithmen in der Implementierung. Zu dieser Instabilität präsentiere ich einige weitere Experimente

Fluidization of Petri nets to improve the analysis of Discrete Event Systems

Las Redes de Petri (RdP) son un formalismo ampliamente aceptado para el modelado y análisis de Sistemas de Eventos Discretos (SED). Por ejemplo sistemas de manufactura, de logística, de tráfico, redes informáticas, servicios web, redes de comunicación, procesos bioquímicos, etc. Como otros formalismos, las redes de Petri sufren del problema de la ¿explosión de estados¿, en el cual el número de estados crece explosivamente respecto de la carga del sistema, haciendo intratables algunas técnicas de análisis basadas en la enumeración de estados. La fluidificación de las redes de Petri trata de superar este problema, pasando de las RdP discretas (en las que los disparos de las transiciones y los marcados de los lugares son cantidades enteras no negativas) a las RdP continuas (en las que los disparos de las transiciones, y por lo tanto los marcados se definen en los reales). Las RdP continuas disponen de técnicas de análisis más eficientes que las discretas. Sin embargo, como toda relajación, la fluidificación supone el detrimento de la fidelidad, dando lugar a la pérdida de propiedades cualitativas o cuantitativas de la red de Petri original. El objetivo principal de esta tesis es mejorar el proceso de fluidificación de las RdP, obteniendo un formalismo continuo (o al menos parcialmente) que evite el problema de la explosión de estados, mientras aproxime adecuadamente la RdP discreta. Además, esta tesis considera no solo el proceso de fluidificación sino también el formalismo de las RdP continuas en sí mismo, estudiando la complejidad computacional de comprobar algunas propiedades. En primer lugar, se establecen las diferencias que aparecen entre las RdP discretas y continuas, y se proponen algunas transformaciones sobre la red discreta que mejorarán la red continua resultante. En segundo lugar, se examina el proceso de fluidificación de las RdP autónomas (i.e., sin ninguna interpretación temporal), y se establecen ciertas condiciones bajo las cuales la RdP continua preserva determinadas propiedades cualitativas de la RdP discreta: limitación, ausencia de bloqueos, vivacidad, etc. En tercer lugar, se contribuye al estudio de la decidibilidad y la complejidad computacional de algunas propiedades comunes de la RdP continua autónoma. En cuarto lugar, se considera el proceso de fluidificación de las RdP temporizadas. Se proponen algunas técnicas para preservar ciertas propiedades cuantitativas de las RdP discretas estocásticas por las RdP continuas temporizadas. Por último, se propone un nuevo formalismo, en el cual el disparo de las transiciones se adapta a la carga del sistema, combinando disparos discretos y continuos, dando lugar a las Redes de Petri híbridas adaptativas. Las RdP híbridas adaptativas suponen un marco conceptual para la fluidificación parcial o total de las Redes de Petri, que engloba a las redes de Petri discretas, continuas e híbridas. En general, permite preservar propiedades de la RdP original, evitando el problema de la explosión de estados

The Role of Arithmetic in Fast Parallel Matrix Inversion

In the last two decades several NC algorithms for solving basic linear algebraic problems have appeared in the literature. This interest was clearly motivated by the emergence of a parallel computing technology and by the wide applicability of matrix computations. The traditionally adopted computation model, however, ignores the arithmetic aspects of the applications, and no analysis is currently available demonstrating the concrete feasibility of many of the known fast methods. In this paper we give strong evidence to the contrary, on the sole basis of the issue of robustness, indicating that some theoretically brilliant solutions fail the severe test of the “Engineering of Algorithms.” We perform a comparative analysis of several well-known numerical matrix inversion algorithms under both fixed- and variable-precision models of arithmetic. We show that, for most methods investigated, a typical input leads to poor numerical performance, and that in the exact-arithmetic setting no benefit derives from conditions usually deemed favorable in standard scientific computing. Under these circumstances, the only algorithm admitting sufficiently accurate NC implementations is Newton’s iterative method, and the word size required to guarantee worst-case correctness appears to be the critical complexity measure. Our analysis also accounts for the observed instability of the considered superfast methods when implemented with the same floating-point arithmetic that is perfectly adequate for the fixed-precision approach