Generalized Fibonacci and Lucas numbers of the form kx2

06.03.2018 tarihli ve 30352 sayılı Resmi Gazetede yayımlanan “Yükseköğretim Kanunu İle Bazı Kanun Ve Kanun Hükmünde Kararnamelerde Değişiklik Yapılması Hakkında Kanun” ile 18.06.2018 tarihli “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” gereğince tam metin erişime açılmıştır.Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinin özelliklerini içeren araştırmalar zamanla matematikçilerin ilgisini çekmiştir. Bu araştırmalar hangi durumlarda genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinin terimlerinin tamkare (=□) oldukları sorusunu akıllara getirmiştir. Bu tezde kx^2 biçimindeki genelleştirilmiş Fibonacci sayıları U_{n}(P,Q) ve genelleştirilmiş Lucas sayıları V_{n}(P,Q), Q=±1 ve k=5 veya k=7 özel şartları altında incelendi. Birinci bölümde, Fibonacci'nin hayatı ve Fibonacci ve Lucas dizileri hakkında tarihsel bilgiler verildi. Ardından, genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinin tanımları verildi. Bu dizilerin terimleri ile bazı Diyofant denklemlerinin çözümleri arasındaki yakın ilişkiden dolayı Diyofant denklemleri ve Diyofant denklemlerinin özel durumları olan Pell denklemlerinden bahsedildi. Ayrıca, kx^2 biçimindeki genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren literatür bilgisi verildi. İkinci bölümde, genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarının en önemli özellikleri listelendi. İkinci bölümün alt bölümlerinde, 5x^2 biçimindeki genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları, Q=±1 özel şartları altında ele alındı ve bazı sonuçlar elde edildi. Elde edilen bu sonuçlar yardımıyla, genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinin terimleri ile bazı Diyofant denklemlerinin çözümleri arasındaki yakın ilişki gözlemlendi. Ayrıca, U_{n}(P,1)=5U_{m}(P,1)□, U_{n}(P,-1)=5U_{m}(P,-1)□, V_{n}(P,1)=5V_{m}(P,1)□, ve V_{n}(P,-1)=5V_{m}(P,-1)□ denklemleri çözüldü. Üçüncü bölümde, U_{n}(P,1)=7□, U_{n}(P,1)=7U_{m}(P,1)□, V_{n}(P,1)=7□, ve V_{n}(P,1)=7V_{m}(P,1)□ denklemleri çözüldü.Investigations of the properties of generalized Fibonacci and Lucas sequences have been able to hold mathematician's interest over time. These investigations have given rise to questions in when the terms of generalized Fibonacci and Lucas sequences are perfect square (=□). In this thesis, it is dealt with generalized Fibonacci numbers U_{n}(P,Q) and generalized Lucas numbers V_{n}(P,Q) of the form kx^2 with the special consideration that Q=±1 and k=5 or k=7. In Chapter 1, the historical information about Fibonacci's life and Fibonacci and Lucas sequences are briefly mentioned. Then, the definitions of generalized Fibonacci and Lucas sequences are given. Since there is a close relation between the terms of these sequences and the solutions of certain Diophantine equations, it is mentioned about Diophantine equations and Pell equations, which are the special cases of Diophantine equations. Furthermore, the literature concerning generalized Fibonacci and Lucas numbers of the form kx^2 are given. In Chapter 2, the most important properties of generalized Fibonacci and Lucas numbers are listed. In the succeeding subchapters, generalized Fibonacci and Lucas numbers of the form 5x^2 are considered with special consideration that Q=±1 and some results are obtained. By the help of these results, it is observed the close relation between the terms of generalized Fibonacci and Lucas sequences and the solutions of certain Diophantine equations. Also, the equations U_{n}(P,1)=5U_{m}(P,1)□, U_{n}(P,-1)=5U_{m}(P,-1)□, V_{n}(P,1)=5V_{m}(P,1)□, and V_{n}(P,-1)=5V_{m}(P,-1)□ are solved. In Chapter 3, the equations U_{n}(P,1)=7□, U_{n}(P,1)=7U_{m}(P,1)□, V_{n}(P,1)=7□, and V_{n}(P,1)= 7V_{m}(P,1)□ are solved

Generalized Fibonacci Numbers: Sum Formulas of the Squares of Terms

In this paper, closed forms of the sum formulas ∑nk=1kWk2 and ∑nk=1kW2−k for the squares of generalized Fibonacci numbers are presented. As special cases, we give summation formulas of Fibonacci, Lucas, Pell, Pell-Lucas, Jacobsthal and Jacobsthal-Lucas numbers. We present the proofs to indicate how these formulas, in general, were discovered. Of course, all the listed formulas may be proved by induction, but that method of proof gives no clue about their discovery. Our work generalize second order recurrence relations

Closed forms for certain fibonacci type sums that involve second order products

In this paper, we present closed forms for certain finite sums in which the summand is a product of generalized Fibonacci numbers. We present our results in the form of six theorems that feature a generalized Fibonacci sequence {Wn}, and an accompanying sequence {Wn}- We add a further layer of generalization to our results with the use of three parameters s, k, and m. The inspiration for this paper comes from a website of Knott that lists so-called order 2 summations involving the Fibonacci and Lucas numbers. Probably the most well-known of these summations is σni=1Fi2=FnFn+1

Genelleştirilmiş Jacobsthal sayıları

06.03.2018 tarihli ve 30352 sayılı Resmi Gazetede yayımlanan “Yükseköğretim Kanunu İle Bazı Kanun Ve Kanun Hükmünde Kararnamelerde Değişiklik Yapılması Hakkında Kanun” ile 18.06.2018 tarihli “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” gereğince tam metin erişime açılmıştır.Bu çalışmada, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayılarının genel özellikleri incelenerek, bu sayı dizilerinin genelleştirilmesi olan k-basamak Jacobsthal ve k-basamak Jacobsthal-Lucas dizilerinin tanımları ve özellikleri verildi. Birinci bölümde tam sayı dizilerinin temeli olarak düşünülen Fibonacci ve Lucas dizilerinin tarihçesinden ve bu sayılarla matrisler arasındaki ilişkilerden bahsedildi. İkinci bölümde literatürde önemli bir yere sahip olan bazı tam sayı dizilerinin tanımları verilerek, temel kavramları üzerinde duruldu. Üçüncü bölümde Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayılarının özelliklerine ek olarak, elde ettiğimiz toplam özellikleri ve matris gösterimi verildi. Son bölümde ise Jacobsthal k-sayıları ve genelleştirilmiş k-basamak Jacobsthal sayılarının tanımları, üreteç matrisleri, özdeğerleri ve Binet formüllerinin yanı sıra üreteç fonksiyonları ve kombinatoryal gösterimleri elde edildi.In this study, by considering general properties of Jacobsthal and Jacobsthal-Lucas numbers, definitions and properties of order-k Jacobsthal and order-k Jacobsthal-Lucas sequences, which are the generalizations of Jacobsthal and Jacobsthal-Lucas sequences, are given. In the first chapter, history of Fibonacci and Lucas sequences that is considered as foundation of integer sequences and relations between these numbers and matrices are mentioned. In the second chapter, after definitions of some integer sequences which are important in the literature are given, some fundamental concepts of these sequences are stated. In addition to properties of Jacobsthal and Jacobsthal-Lucas numbers, summation properties and matrix representation are obtained in the third chapter. In the last chapter, in addition to definitions, generating matrices, eigenvalues and Binet formulas of generalized order-k Jacobsthal numbers and Jacobsthal k-numbers, their generating functions and combinatorial representations are obtained

Padovan and Perrin numbers as products of two generalized Lucas numbers

summary:Let $P_m$ and $E_m$ be the $m$-th Padovan and Perrin numbers respectively. Let $r, s$ be non-zero integers with $r\ge 1$ and $s\in \lbrace -1, 1\rbrace$, let $\lbrace U_n\rbrace _{n\ge 0}$ be the generalized Lucas sequence given by $U_{n+2}=rU_{n+1} + sU_n$, with $U_0=0$ and $U_1=1.$ In this paper, we give effective bounds for the solutions of the following Diophantine equations $$P_m=U_nU_k\quad \text{and}\quad E_m=U_nU_k\,,$$ where $m$, $n$ and $k$ are non-negative integers. Then, we explicitly solve the above Diophantine equations for the Fibonacci, Pell and balancing sequences