6 research outputs found
Probabilistic and extremal studies in additive combinatorics
The results in this thesis concern extremal and probabilistic topics in number theoretic settings.
We prove sufficient conditions on when certain types of integer solutions to linear systems of
equations in binomial random sets are distributed normally, results on the typical approximate
structure of pairs of integer subsets with a given sumset cardinality, as well as upper bounds
on how large a family of integer sets defining pairwise distinct sumsets can be. In order to
prove the typical structural result on pairs of integer sets, we also establish a new multipartite
version of the method of hypergraph containers, generalizing earlier work by Morris, Saxton
and Samotij.L'objectiu de la combinatòria additiva “històricament tambĂ© anomenada teoria combinatòria de nombres” Ă©s la d’estudiar l'estructura additiva de conjunts en determinats grups ambient. La combinatòria extremal estudia quant de gran pot ser una col·lecciĂł d'objectes finits abans d'exhibir determinats requisits estructurals. La combinatòria probabilĂstica analitza estructures combinatòries aleatòries, identificant en particular l'estructura dels objectes combinatoris tĂpics. Entre els estudis mĂ©s celebrats hi ha el treball de grafs aleatoris iniciat per Erdös i RĂ©nyi. Un exemple especialment rellevant de com aquestes tres Ă rees s'entrellacen Ă©s el desenvolupament per Erdös del mètode probabilĂstic en teoria de nombres i en combinatòria, que mostra l'existència de moltes estructures extremes en configuracions additives utilitzant tècniques probabilistes. Tots els temes d'aquesta tesi es troben en la intersecciĂł d'aquestes tres Ă rees, i apareixen en els problemes segĂĽents. Solucions enteres de sistemes d'equacions lineals. Els darrers anys s'han obtingut resultats pel que fa a l’existència de llindars per a determinades solucions enteres a un sistema arbitrari d'equacions lineals donat, responent a la pregunta de quan s'espera que el subconjunt aleatori binomial d'un conjunt inicial de nombres enters contingui solucions gairebĂ© sempre. La segĂĽent pregunta lògica Ă©s la segĂĽent. Suposem que estem en la zona en que hi haurĂ solucions enteres en el conjunt aleatori binomial, com es distribueixen aleshores aquestes solucions? Al capĂtol 1, avançarem per respondre aquesta pregunta proporcionant condicions suficients per a quan una gran varietat de solucions segueixen una distribuciĂł normal. TambĂ© parlarem de com, en determinats casos, aquestes condicions suficients tambĂ© sĂłn necessĂ ries. Conjunts amb suma acotada. Què es pot dir de l'estructura de dos conjunts finits en un grup abeliĂ si la seva suma de Minkowski no Ă©s molt mĂ©s gran que la dels conjunts? Un resultat clĂ ssic de Kneser diu que això pot passar si i nomĂ©s si la suma de Minkowski Ă©s periòdica respecte a un subgrup propi. En el capĂtol 3 establirem dos tipus de resultats. En primer lloc, establirem les anomenades versions robustes dels teoremes clĂ ssics de Kneser i Freiman. Robust aquĂ es refereix al fet que en comptes de demanar informaciĂł estructural sobre els conjunts constituents amb el coneixement que la seva suma Ă©s petita, nomĂ©s necessitem que això sigui vĂ lid per a un subconjunt gran passa si nomĂ©s volem donar una informaciĂł estructural per a gairebĂ© tots els parells de conjunts amb una suma d'una mida determinada? Donem un teorema d'estructura aproximat que s'aplica a gairebĂ© la majoria dels rangs possibles per la mida dels conjunts suma. Sistemes de conjunts de Sidon. Les preguntes clĂ ssiques sobre els conjunts de Sidon sĂłn determinar la seva mida mĂ xima o saber quan un conjunt aleatori Ă©s un conjunt de Sidon. Al capĂtol 4 generalitzem la nociĂł de conjunts de Sidon per establir sistemes i establim els lĂmits corresponents per a aquestes dues preguntes. TambĂ© demostrem un resultat de densitat relativa, resultat condicionat a una conjectura sobre l'estructura especĂfica dels sistemes mĂ xims de Sidon. Conjunts independents en hipergrafs. El mètode dels contenidors d'hipergrafs Ă©s una eina general que es pot utilitzar per obtenir resultats sobre el nombre i l'estructura de conjunts independents en els hipergrafs. La connexiĂł amb la combinatòria additiva apareix perquè molts problemes additius es poden codificar com l'estudi de conjunts independents en hipergrafs.Postprint (published version