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Strengthened ordered directionally monotone functions. Links between the different notions of monotonicity
In this work, we propose a new notion of monotonicity: strengthened ordered directional monotonicity. This generalization of monotonicity is based on directional monotonicity and ordered directional monotonicity, two recent weaker forms of monotonicity. We discuss the relation between those different notions of monotonicity from a theoretical point of view. Additionally, along with the introduction of two families of functions and a study of their connection to the considered monotonicity notions, we define an operation between functions that generalizes the Choquet integral and the Lukasiewicz implication.This work is partially supported by the grants APVV-14-0013 and TIN2016-77356-P (AEI/FEDER, UE)
Generalized forms of monotonicity in the data aggregation framework
El proceso de agregación trata el problema de combinar una colección de valores numéricos
en un único valor que los represente y las funciones encargadas de esta operación se denominan
funciones de agregación. A las funciones de agregación se les exige que cumplan dos
condiciones de contorno y, además, han de ser monótonas con respecto a todos sus argumentos.
Una de las tendencias en el área de investigación de las funciones de agregación es la
relajación de la condición de monotonÃa. En este respecto, se han introducido varias formas
de monotonÃa relajada. Tal es el caso de la monotonÃa débil, la monotonÃa direccional y la
monotonÃa respecto a un cono.
Sin embargo, todas estas relajaciones de monotonÃa están basadas en la idea de crecer, o
decrecer, a lo largo de un rayo definido por un vector real. No existe noción de monotonÃa que
permita que la dirección de crecimiento dependa de los valores a fusionar, ni tampoco existe
noción de monotonÃa que considere el crecimiento a lo largo de caminos más generales, como
son las curvas. Además, otra de las tendencias en la teorÃa de la agregación es la extensión
a escalas más generales que la de los números reales y no existe relajación de monotonÃa
disponible para este contexto general.
En esta tesis, proponemos una colección de nuevas formas de monotonÃa relajada para las
cuales las direcciones de monotonÃa pueden variar dependiendo del punto del dominio. En
concreto, introducimos los conceptos de monotonÃa direccional ordenada, monotonÃa direccional
ordenada reforzada y monotonÃa direccional punto a punto. Basándonos en funciones
que cumplan las propiedades de monotonÃa direccional ordenada, proponemos un algoritmo
de detección de bordes que justifica la aplicabilidad de estos conceptos. Por otro lado, generalizamos
el concepto de monotonÃa direccional tomando, en lugar de direcciones en Rn,
caminos más generales: definimos el concepto de monotonÃa basado en curvas. Por último,
combinando ambas tendencias en la teorÃa de la agregación, generalizamos el concepto de
monotonÃa direccional a funciones definidas en escalas más generales que la de los números
reales.The process of aggregation addresses the problem of combining a collection of numerical values
into a single representative number and the functions that perform this operation are
called aggregation functions. Aggregation functions are required to satisfy two boundary
conditions and to be monotone with respect to all their arguments.
One of the trends in the research area of aggregation functions is the relaxation of the
condition of monotonicity. In that attempt, various relaxed forms of monotonicity have been
introduced. This is the case of weak, directional and cone monotonicity.
However, all these relaxed forms of monotonicity are based on the idea of increasing, or
decreasing, along a fixed ray defined by a real vector. There is no notion of monotonicity
allowing the direction of increasingness to depend on the specific values to aggregate, nor
there exists any other notion that considers increasingness along more general paths, such as
curves. Additionally, another trend in the theory of aggregation is the extension to handle
more general scales than real numbers and there is no relaxation of monotonicity available in
that general context.
In this dissertation, we propose a collection of new relaxed forms of monotonicity for
which the directions of monotonicity may vary from one point of the domain to another.
Specifically, we introduce the concepts of ordered directional monotonicity, strengthened ordered
directional monotonicity and pointwise directional monotonicity. Based on the concept
of ordered directionally monotone functions, we propose an edge detection algorithm that
justifies the applicability of these concepts. Furthermore, we generalize the concept of directional
monotonicity so that, instead of directions in Rn, more general paths are considered: we
define curve-based monotonicity. Finally, combining both trends in the theory of aggregation,
we generalize the concept of directional monotonicity to functions that are defined on more
general scales than real numbers.Programa de Doctorado en Ciencias y TecnologÃas Industriales (RD 99/2011)Industria Zientzietako eta Teknologietako Doktoretza Programa (ED 99/2011