Steinberg-like theorems for backbone colouring

International audienceA function f:V(G)→{1,…,k}f:V(G)→{1,…,k} is a (proper) k-colouring of G if |f(u)−f(v)|≥1|f(u)−f(v)|≥1, for every edge uv∈E(G)uv∈E(G). The chromatic number χ(G)χ(G) is the smallest integer k for which there exists a proper k-colouring of G.Given a graph G and a subgraph H of G, a circular q-backbone k-colouring c of (G, H) is a k-colouring of G such that q≤|c(u)−c(v)|≤k−qq≤|c(u)−c(v)|≤k−q, for each edge uv∈E(H)uv∈E(H). The circular q-backbone chromatic number of a graph pair (G, H ), denoted CBCq(G,H)CBCq(G,H), is the minimum k such that (G, H) admits a circular q-backbone k-colouring.In this work, we first show that if G is a planar graph containing no cycle on 4 or 5 vertices and H⊆GH⊆G is a forest, then CBC2(G,H)≤7CBC2(G,H)≤7. Then, we prove that if H⊆GH⊆G is a forest whose connected components are paths, then CBC2(G,H)≤6CBC2(G,H)≤6

Steinberg-like theorems for backbone colouring

Une fonction $f: V(G)\to \{1,\ldots,k\}$ est une $k$-coloration (propre) de $G$ si $|f (u) - f (v)|\geq 1$, pour toute ar\^ete $uv\in E(G)$. Le {\it nombre chromatique} $\chi(G)$ est le plus petit entier $k$ tel qu'il existe une $k$-coloration propre de $G$.Etant donn\'es un graphe $G$ et un sous-graphe $H$ de $G$, une $k$-coloration $q$-backbone circulaire $f$ de $(G,H)$ est une $k$-coloration de $G$ telle que $q\leq |c(u)-c(v)|\leq k-q$, pour tout ar\^ete $uv\in E(H)$. Le {\it nombre chromatique $q$-backbone circulaire} d'une paire de graphes $(G,H)$, not\'e \CBC_q(G,H), est le plus petit $k$ tel que $(G,H)$ admette une $k$-coloration $q$-backbone circulaire.Steinberg a conjectur\'e que si $G$ est planaire et si $G$ ne contient pas de cycles \`a 4 ou 5 sommets, alors $\chi(G)\leq 3$. tSi cette conjecture est correcte, alors on pourrait en d\'eduire que \CBC_2(G,H)\leq 6, pour tout $H\subseteq G$. Dans ce papier, nous montrons que si $G$ est un graphe planaire sans cycle \`a 4 ou 5 sommets et $H\subseteq G$ est une for\^et, alors \CBC_2(G,H)\leq 7. Ensuite, nous prouvons que si $H\subseteq G$ est une for\^et dont toutes les composantes connexes sont des chemins, alors \CBC_2(G,H)\leq 6

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