О непрерывной зависимости от параметра множества решений операторного уравнения

Для отображений, действующих из метрического пространства $(X,\rho_X)$ в пространство $Y$, на котором определено расстояние (то есть отображение $d\colon X\times X \to \mathbb{R}_+$ такое, что $d(x,u)=0 \Leftrightarrow x=u$), определяется следующий аналог свойства накрывания. Множеством $\alpha$-накрывания отображения $f\colon X\to Y$ названо множество $$\mathrm{Cov}_{\alpha}[f]=\{(x,\tilde{y})\in X \times Y \colon \exists \tilde{x} \in X \ f(\tilde{x})=\tilde{y}, \ \rho_{X} (\tilde{x},x)\leqslant{\alpha}^{-1} d_{Y}\bigl(\tilde{y},f(x)\bigr)\}.$$ Для заданных $\tilde{y}\in Y$, $\Phi\colon X \times X \to Y$ рассматривается уравнение $\Phi(x,x)=\tilde{y}$. Сформулирована теорема о существовании решения. Исследуется проблема устойчивости решений к малым изменениям отображения $\Phi$. А именно, рассмотрена последовательность таких отображений $\Phi_{n}\colon X \times X \to Y$, $n=1,2,\ldots,$ что для всех $x\in X$ выполнено $(x,\tilde{y})\in \mathrm{Cov}_{\alpha}\big[\Phi_n(\cdot,x)\big]$, отображение $\Phi_n(x,\cdot)$ является $\beta$-липшицевым и для решения $x^{*}$ исходного уравнения имеет место сходимость $d_{Y}\big(\tilde{y}, \Phi_{n}(x^{*},x^{*})\big)\to 0$. При выполнении этих условий утверждается, что при любом $n$ существует $x^{*}_{n}$ такой, что $\Phi_{n}(x^{*}_{n},x^{*}_{n})=\tilde{y}$ и $\{x^{*}_{n}\}$ сходится к $x^{*}$ в метрическом пространстве $X$. Также в статье рассмотрено уравнение $\Phi(x,x,t)=\tilde{y}$ с параметром $t$ - элементом топологического пространства. Предполагается, что $(x,\tilde{y})\in \mathrm{Cov}_{\alpha}\big[\Phi_n(\cdot,x,t)\big]$, отображение $\Phi_n(x,\cdot,t)$ является $\beta$-липшицевым, а отображение $\Phi_n(x,x,\cdot)$ - непрерывным. Доказаны утверждения о полунепрерывной сверху и снизу зависимости множества решений от параметра $t$

Stability theorems for estimating the distance to a set of coincidence points

Coincidence points of two set-valued mappings of metric spaces are analyzed. Uniform estimates are obtained for the distance to the set of coincidence points and to the set of intersections of the graphs of two set-valued mappings. Sufficient conditions for the existence of double fixed points are derived as a consequence of the results obtained. In addition, estimates are obtained for the distance between the sets of coincidence points of two pairs of set-valued mappings. Copyright © by SIAM. © 2015 Society for Industrial and Applied Mathematics

Stability theorems for estimating the distance to a set of coincidence points

Coincidence points of two set-valued mappings of metric spaces are analyzed. Uniform estimates are obtained for the distance to the set of coincidence points and to the set of intersections of the graphs of two set-valued mappings. Sufficient conditions for the existence of double fixed points are derived as a consequence of the results obtained. In addition, estimates are obtained for the distance between the sets of coincidence points of two pairs of set-valued mappings. Copyright © by SIAM. © 2015 Society for Industrial and Applied Mathematics