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Problems and applications of Discrete and Computational Geometry concerning graphs, polygons, and points in the plane
Esta tesistratasobreproblemasyaplicacionesdelageometríadiscretay
computacional enelplano,relacionadosconpolígonos,conjuntosdepuntos
y grafos.
Después deunprimercapítulointroductorio,enelcapítulo 2 estudiamos
una generalizacióndeunfamosoproblemadevisibilidadenelámbitodela
O-convexidad. Dadounconjuntodeorientaciones(ángulos) O, decimosque
una curvaes O-convexa si suintersecciónconcualquierrectaparalelaauna
orientaciónde O es conexa.Cuando O = {0◦, 90◦}, nosencontramosenel
caso delaortoconvexidad,consideradodeespecialrelevancia.El O-núcleo
de unpolígonoeselconjuntodepuntosdelmismoquepuedenserconectados
con cualquierotropuntodelpolígonomedianteunacurva O-convexa.En
este trabajoobtenemos,para O = {0◦} y O = {0◦, 90◦}, unalgoritmopara
calcular ymantenerel O-núcleodeunpolígonoconformeelconjuntode
orientaciones O rota. Dichoalgoritmoproporciona,además,losángulosde
rotación paralosqueel O-núcleotieneáreayperímetromáximos.
En elcapítulo 3 consideramos unaversiónbicromáticadeunproblema
combinatorioplanteadoporNeumann-LarayUrrutia.Enconcreto,de-
mostramos quetodoconjuntode n puntosazulesy n puntosrojosenel
plano contieneunparbicromáticodepuntostalquetodocírculoquelos
tenga ensufronteracontieneensuinterioralmenos n(1− 1 √2
)−o(n) puntos
del conjunto.Esteproblemaestáfuertementeligadoalcálculodelosdiagra-
mas deVoronoideordensuperiordelconjuntodepuntos,pueslasaristas
de estosdiagramascontienenprecisamentetodosloscentrosdeloscírculos
que pasanpordospuntosdelconjunto.Porello,nuestralíneadetrabajo
actual enesteproblemaconsisteenexplorarestaconexiónrealizandoun
estudio detalladodelaspropiedadesdelosdiagramasdeVoronoideorden
superior.
En loscapítulos 4 y 5, planteamosdosaplicacionesdelateoríadegrafos
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al análisissensorialyalcontroldeltráficoaéreo,respectivamente.Enel
primer caso,presentamosunnuevométodoquecombinatécnicasestadísti-
cas ygeométricasparaanalizarlasopinionesdelosconsumidores,recogidas
a travésdemapeoproyectivo.Estemétodoesunavariacióndelmétodo
SensoGraph ypretendecapturarlaesenciadelmapeoproyectivomediante
el cálculodelasdistanciaseuclídeasentrelosparesdemuestrasysunor-
malización enelintervalo [0, 1]. Acontinuación,aplicamoselmétodoaun
ejemplo prácticoycomparamossusresultadosconlosobtenidosmediante
métodosclásicosdeanálisissensorialsobreelmismoconjuntodedatos.
En elsegundocaso,utilizamoslatécnicadelespectro-coloreadodegrafos
para plantearunmodelodecontroldeltráficoaéreoquepretendeoptimizar
el consumodecombustibledelosavionesalmismotiempoqueseevitan
colisiones entreellos.This thesisdealswithproblemsandapplicationsofdiscreteandcomputa-
tional geometryintheplane,concerningpolygons,pointsets,andgraphs.
After afirstintroductorychapter,inChapter 2 westudyageneraliza-
tion ofafamousvisibilityproblemintheframeworkof O-convexity. Given
a setoforientations(angles) O, wesaythatacurveis O-convex if itsin-
tersection withanylineparalleltoanorientationin O is connected.When
O = {0◦, 90◦}, wefindourselvesinthecaseoforthoconvexity,consideredof
specialrelevance.The O-kernel of apolygonisthesubsetofpointsofthe
polygonthatcanbeconnectedtoanyotherpointofthepolygonwithan
O-convexcurve.Inthisworkweobtain,for O = {0◦} and O = {0◦, 90◦}, an
algorithm tocomputeandmaintainthe O-kernelofapolygonasthesetof
orientations O rotates. Thisalgorithmalsoprovidestheanglesofrotation
that maximizetheareaandperimeterofthe O-kernel.
In Chapter 3, weconsiderabichromaticversionofacombinatorialprob-
lem posedbyNeumann-LaraandUrrutia.Specifically,weprovethatevery
set of n blue and n red pointsintheplanecontainsabichromaticpairof
pointssuchthateverycirclehavingthemonitsboundarycontainsatleast
n(1 − 1 √2
) − o(n) pointsofthesetinitsinterior.Thisproblemisclosely
related toobtainingthehigherorderVoronoidiagramsofthepointset.The
edges ofthesediagramscontain,precisely,allthecentersofthecirclesthat
pass throughtwopointsoftheset.Therefore,ourcurrentlineofresearch
on thisproblemconsistsonexploringthisconnectionbystudyingindetail
the propertiesofhigherorderVoronoidiagrams.
In Chapters 4 and 5, weconsidertwoapplicationsofgraphtheoryto
sensory analysisandairtrafficmanagement,respectively.Inthefirstcase,
weintroduceanewmethodwhichcombinesgeometricandstatisticaltech-
niques toanalyzeconsumeropinions,collectedthroughprojectivemapping.
This methodisavariationofthemethodSensoGraph.Itaimstocapture
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the essenceofprojectivemappingbycomputingtheEcuclideandistances
betweenpairsofsamplesandnormalizingthemtotheinterval [0, 1]. Weap-
ply themethodtoareal-lifescenarioandcompareitsperformancewiththe
performanceofclassicmethodsofsensoryanalysisoverthesamedataset.
In thesecondcase,weusetheSpectrumGraphColoringtechniquetopro-
poseamodelforairtrafficmanagementthataimstooptimizetheamount
of fuelusedbytheairplanes,whileavoidingcollisionsbetweenthem