Spectral invariance of Besov–Bessel subalgebras

AbstractUsing principles of the theory of smoothness spaces, we give systematic constructions of scales of inverse-closed subalgebras of a given Banach algebra with the action of a d-parameter automorphism group. In particular, we obtain the inverse-closedness of Besov algebras, Bessel potential algebras and approximation algebras of polynomial order in their defining algebra. By a proper choice of the group action, these general results can be applied to algebras of infinite matrices and yield inverse-closed subalgebras of matrices with off-diagonal decay of polynomial order. Besides alternative proofs of known results we obtain new classes of inverse-closed subalgebras of matrices with off-diagonal decay.This work is a continuation and extension of results presented by Gröchenig and Klotz (2010) [23]

Norm-Controlled Inversion in Smooth Banach Algebras, I

Every differential subalgebra of a unital $C^*$-algebra is spectrally invariant. We derive a quantitative version of this well-known fact and show that a minimal amount of smoothness, as given by a differential norm, already implies norm control. We obtain an explicit estimate for the differential norm of an invertible element $a$. This estimate depends only on the condition number of $a$ and the ratio of two norms

Noncommutative approximation

In dieser Arbeit werden Matrizen beschränkter linearer Operatoren mit Abklingverhalten der Nebendiagonalen behandelt, das sind Matrizen, deren Einträge mit dem Abstand zur Diagonale betragsmäßig abfallen. Es wird untersucht, unter welchen Bedingungen Matrizen mit derartigem Abklingverhalten invers abgeschlossene Teilalgebren der Algebra beschränkter Operatoren sind, das heißt, wann die Inverse einer als Operator invertierbaren Matrix mit Abklingverhalten wieder ein gleichartiges Abklingverhalten aufweist. Derartige Fragen wurden bislang nur für gewisse Klassen von Matrizen behandelt (siehe dazu etwa die Arbeiten von Baskakov, Demko, Smith und Moss, Jaffard, oder Gröchenig und Leinert). In dieser Arbeit wird versucht, systematische Ansätze zur Behandlung des Abklingverhaltens von Matrizen zu geben, und auch die Invers- Abgeschlossenheit systematisch zu behandeln. Zwei Konstruktionen werden eingeführt: Einerseits kann das Abklingverhalten von Matrizen mit Hilfe einer Glattheitstheorie von Banachräumen beschrieben werden, andererseits kann es auch durch die Güte der Approximation durch Bandmatrizen gemessen werden. Beide Konstruktionen liefern in systematischer Weise Klassen invers abgeschlossener Teilalgebren zu einer gegebenen Banach Algebra von Matrizen, und beide Konstruktionen lassen sich sinnvoll für größere Klassen von Banach Algebren erklären. Auf die beschriebene Weise werden nicht nur bekannte Resultate über Matrizen mit Abklingverhalten wiedergewonnen, sondern auch neue invers-abgeschlossene Algebren von Matrizen mit Abklingverhalten konstruiert. Der Zusammenhang zwischen beiden Konstruktionen - Abklingverhalten der Nebendiagonalen durch Approximation beziehungsweise durch Glattheit - wird wie im Fall der klassischen trigonometrischen Approximation durch Sätze vom Jackson-BernsteinTyp vermittelt. Dies erlaubt eine konstruktive Beschreibung von Approximations- bzw. Glattheitsräumen durch Littlewood-Paley-Zerelegungen. Schließlich wird versucht, die beschriebene Theorie für Matrizen mit Abklingverhalten jenseits der polynomialen Ordnung anzuwenden. Dazu werden Analoga zu ultradifferenzierbaren Funktionen für Operatoren konstruiert. Auch hier ist es wieder möglich, die Invers-Abgeschlossenheit der entstehenden Algebren in den beschränkten Operatoren nachzuweisen, und so etwa das klassische Resultat von Demko, Smith und Moss auf allgemeinere Formen des Abklingverhaltens auszudehnen

On convolution dominated operators

For a locally compact group $G$ we consider the algebra $CD(G)$ of convolution dominated operators on $L^{2}(G)$: An operator $A:L^2(G)\to L^2(G)$ is called convolution dominated if there exists $a\in L^1(G)$ such that for all $f \in L^2(G)$ $|Af(x)| \leq a * |f| (x)$, for almost all $x \in G$. In the case of discrete groups those operators can be dealt with quite sufficiently if the group in question is rigidly symmetric. For non-discrete groups we investigate the subalgebra of regular convolution dominated operators $CD_{reg}(G)$. For amenable $G$ which is rigidly symmetric as a discrete group, we show that any element of $CD_{reg}(G)$ is invertible in $CD_{reg}(G)$ if it is invertible as a bounded operator on $L^2(G)$. We give an example of a symmetric group $E$ for which the convolution dominated operators are not inverse-closed in the bounded operators on $L^2(E)$.Comment: 22pages, to appear in Integral Equations and Operator Theor

Norm-Controlled Inversion of Banach algebras of infinite matrices

In this paper we provide a polynomial norm-controlled inversion of Baskakov–Gohberg–Sjöstrand Banach algebra in a Banach algebra ${\mathcal{B}}(\ell ^q)$, $1\le q \le \infty$, which is not a symmetric $*-$ Banach algebra

Norm-Controlled Inversion of Banach algebras of infinite matrices

In this paper we provide a polynomial norm-controlled inversion of Baskakov–Gohberg–Sjöstrand Banach algebra in a Banach algebra ${\mathcal{B}}(\ell ^q)$, $1\le q \le \infty$, which is not a symmetric $*-$ Banach algebra