Generic complexity of the membership problem for semigroups of integer matrices

Проблема вхождения в конечно порождённую подгруппу (подполугруппу) для групп (полугрупп) является классической алгоритмической проблемой в алгебре, активно изучаемой многие десятилетия. Уже для достаточно простых групп и полугрупп эта проблема становится неразрешимой. Например, К. А. Михайлова в 1966 г. доказала неразрешимость проблемы вхождения в конечно порождённые подгруппы и, следовательно, подполугруппы для прямого произведения F2xF2 двух свободных групп ранга 2. Так как по известной теореме Санова группа F2 имеет точное представление целочисленными матрицами порядка 2, группа F2xF2 является подгруппой группы GL4(Z) целочисленных матриц порядка 4. Отсюда легко следует неразрешимость рассматриваемой проблемы для группы GLk(Z) при k > 4. Неразрешимость проблемы вхождения в подполугруппы полугрупп целочисленных матриц порядка > 3 следует из результата М. Патерсона 1970 г. В данной работе предлагается сильно генерический алгоритм, решающий проблему вхождения в подполугруппы полугрупп целочисленных матриц произвольного порядка для подмножества входов, последовательность относительных плотностей которого при увеличении размера экспоненциально быстро сходится к 1