On the Scholz conjecture on addition chains

Applying the pothole method on the factors of numbers of the form $2^n-1$, we prove the stronger inequality $$\iota(2^n-1)\leq n+1-\sum \limits_{j=1}^{\lfloor \frac{\log n}{\log 2}\rfloor}\xi(n,j)+3\lfloor\frac{\log n}{\log 2}\rfloor$$ for all $n\in \mathbb{N}$ with $n\geq 64$ for $0\leq \xi(n,j)<1$, where $\iota(\cdot)$ denotes the length of the shortest addition chain producing $\cdot$. This inequality is stronger than $$\iota(r)<\frac{\log r}{\log 2}(1+\frac{1}{\log \log r}+\frac{2\log 2}{(\log r)^{1-\log 2}})$$ in the case $r=2^n-1$ but slightly weaker than the conjectured inequality $$\iota(2^n-1)\leq n-1+\iota(n).$

On the notion of carries of numbers 2n−12^n-1 and Scholz conjecture

Applying the pothole method on the factors of numbers of the form $2^n-1$, we prove that if $2^n-1$ has carries of degree at most $$\kappa(2^n-1)=\frac{1}{2(1+c)}\lfloor \frac{\log n}{\log 2}\rfloor-1$$ for $c>0$ fixed, then the inequality $$\iota(2^n-1)\leq n-1+(1+\frac{1}{1+c})\lfloor\frac{\log n}{\log 2}\rfloor$$ holds for all $n\in \mathbb{N}$ with $n\geq 4$, where $\iota(\cdot)$ denotes the length of the shortest addition chain producing $\cdot$. In general, we show that all numbers of the form $2^n-1$ with carries of degree $$\kappa(2^n-1):=(\frac{1}{1+f(n)})\lfloor \frac{\log n}{\log 2}\rfloor-1$$ with $f(n)=o(\log n)$ and $f(n)\longrightarrow \infty$ as $n\longrightarrow \infty$ for $n\geq 4$ then the inequality $$\iota(2^n-1)\leq n-1+(1+\frac{2}{1+f(n)})\lfloor\frac{\log n}{\log 2}\rfloor$$ holds

Représentation d'un polynôme par un circuit arithmétique et chaînes additives

Un circuit arithmétique dont les entrées sont des entiers ou une variable x et dont les portes calculent la somme ou le produit représente un polynôme univarié. On assimile la complexité de représentation d'un polynôme par un circuit arithmétique au nombre de portes multiplicatives minimal requis pour cette modélisation. Et l'on cherche à obtenir une borne inférieure à cette complexité, et cela en fonction du degré d du polynôme. A une chaîne additive pour d, correspond un circuit arithmétique pour le monôme de degré d. La conjecture de Strassen prétend que le nombre minimal de portes multiplicatives requis pour représenter un polynôme de degré d est au moins la longueur minimale d'une chaîne additive pour d. La conjecture de Strassen généralisée correspondrait à la même proposition lorsque les portes du circuit arithmétique ont degré entrant g au lieu de 2. Le mémoire consiste d'une part en une généralisation du concept de chaînes additives, et une étude approfondie de leur construction. On s'y intéresse d'autre part aux polynômes qui peuvent être représentés avec très peu de portes multiplicatives (les d-gems). On combine enfin les deux études en lien avec la conjecture de Strassen. On obtient en particulier de nouveaux cas de circuits vérifiant la conjecture.An arithmetic circuit with inputs among x and the integers which has product gates and addition gates represents a univariate polynomial. We define the complexity of the representation of a polynomial by an arithmetic circuit as the minimal number of product gates required for this modelization. And we seek a lower bound to this complexity, with respect to the degree d of the polynomial. An addition chain for d corresponds to an arithmetic circuit computing the monomial of degree d. Strassen's conjecture states that the minimal number of product gates required to represent a polynomial of degree d is at least the minimal length of an addition chain for d. The generalized Strassen conjecture corresponds to the same statement where the indegree of the gates of the arithmetic circuit is g instead of 2. The thesis consists, on the one hand, of the generalization of the concept of addition chains, and a study of the subject. On the other hand, it is concerned with polynomials which can be represented with very few product gates (d-gems). Both studies related to Strassen's conjecture are combined. In particular, we get new classes of circuits verifying the conjecture