Konfidenbänder für strukturelle Modelle

Das Ziel dieser Arbeit ist die Konstruktion simultaner Konfidenzbänder für Strukturelle Modelle, die von Freitag (2000) und Freitag und Munk (2005) eingeführt wurden. Wir betrachten den zwei-Stichproben Fall. Dabei sind $X_1, \ldots, X_n$ und $Y_1, \ldots, Y_m$ zwei unabhängige Stichproben mit zugehörigen Verteilungsfunktionen $F_1$ beziehungsweise $F_2$. Das strukturelle Modell $F_1^{-1}(u) = \phi_1(F_2^{-1}(\phi_2(u,h)),h)$ (hier sind $\phi_1$ und $\phi_2$ zweimal differenzierbare reellwertige Funktionen) ist in der Lage verschiedene wichtige Zusammenhänge zwischen den Verteilungsfunktionen $F_1$ und $F_2$ darzustellen. Falls zum Beispiel $\phi_1(t,h) = t + h$ und $\phi_2(u,h) = u$ sind, bekommen wir das wichtige Lokationsmodell.Bei der Konstruktion der Konfidenzbänder schätzen wir zunächst den Parameter $h$, dieser Schätzer wird in die P-P Plot Funktion eingesetzt. Für diese Funktion werden dann mit Hilfe der zwei-Stichproben plug-in empirical Likelihood Methode die Konfidenzbänder konstruiert.Die Arbeit verallgemeinert Hjort's {\sl et al} (2004) Ergebnisse, in der die ein Stichprobe plug-in empirical Likelihood Methode definiert wurde. Eine plug-in Version für empirical Likelihood erlaubt es uns punktweise Konfidenzbänder zu konstruieren. Um simultane Konfidenzbänder zu bekommen, benutzen wir die Methode von Hall und Owen (1993), bei der empirical Likelihood die Gestalt der Bänder bestimmt und die Bootstrap-Methode das Konfidenzniveau festlegt.Claesken's {\sl et al.} (2003) Ergebnisse, bei denen die Konfidenzbänder für gewöhnliche P-P plot Funktionen bezüglich zweier Verteilungsfunktionen $F_1$ und $F_2$ konstruiert wurden, folgt in unserem Arbeit aus dem Spezialfall $\phi_1(t, h) = \phi_2(t, h) = t$. Dabei können die Konfidenzbänder für den P-P und Q-Q plot mit der gleichen Methode konstruiert werden. Dennoch beschränken wir uns auf die Konstruktion von P-P Plot Konfidenzbänder, da sie für strukturelle Modellen in einem gewissen Sinne vorteilhaft sind (siehe z.B. Holmgren im 1995). Darüberhinaus sind P-P Plots sehr interessant, da sie im engen Zusammenhang mit ROC-Kurven (Receiver Operating Characteristic) stehen, welche in der Medizin, Signaltheorie und Psychologie von Bedeutung sind (z.B. see Li, 1996).Speziel für Strukturelle Modelle haben wir eine glatte Version der empirical Likelihood bestimmt, welche die Methode der ein-Stichprobe empirical Likelihood von Chen and Hall (1993) benutzt. Für den Spezialfall des Lokationsmodell haben wir die asymptotischen Überdeckungsniveaus simuliert und Konfidenzbänder für reale Daten konstruiert.The goal of the thesis is to construct the simultaneous confidence bands for structural relationship models introduced by Freitag (2000), Freitag and Munk (2005). Consider the two-sample case, where $X_1, \ldots, X_n$ and $Y_1, \ldots, Y_m$ are independent samples with distribution functions $F_1$ and $F_2$ respectively. The structural relationship model $F_1^{-1}(u) = \phi_1(F_2^{-1}(\phi_2(u,h)),h)$, where $\phi_1$ and $\phi_2$ are some twice differentiable real-valued functions, describes several important relationships between the two distribution functions $F_1$ and $F_2$. For example, if $\phi_1(t,h) = t + h$ and $\phi_2(u,h) = u$ we get the well-known location model.To construct the bands, we first estimate the unknown structural parameter $h$ and plug it in the P-P (probability-probability) plot function of structural relationship models. Further the simultaneous bands have been constructed using the two-sample plug-in empirical likelihood method, which has been established in the thesis.The thesis generalizes Hjort {\sl et al.} (2004) work, where the one-sample plug-in empirical likelihood has been defined. A plug-in version of empirical likelihood allows us to derive the pointwise confidence bands. %for the P-P plot of general structural relationship models. To obtain the simultaneous confidence bands we have used the method introduced by Hall and Owen (1993), where the empirical likelihood method sets the shape of the bands and bootstrap sets the level of the test.Claesken's {\sl et al.} (2003) results, where the confidence bands have been constructed for the usual P-P plot of two distribution functions $F_1$ and $F_2$, follow from our results with functions $\phi_1(t,h) = \phi_2(t,h) = t$. We show also that the P-P and Q-Q (quantile-quantile) plots for the independent samples can be treated in the same way. However, in the context of structural relationship models we found P-P plots advantageous above Q-Q plots. P-P plots have become even more interesting because they are closely related to Receiver Operating Characteristic (ROC) curves, which are important in signal theory, psychology, medicine, etc. (cf. Li {\sl et al.}, 1996).We complete our work with establishing a smoothed version of plug-in empirical likelihood for structural relationship models. To do this we have used the smoothed empirical likelihood method, which has been introduced by Chen and Hall (1993) for the one-sample case. For the location model we simulated the coverage levels and constructed the simultaneous bands for some real data problems