Semi-preemptive routing on a line

The problem of routing a robot (or vehicle) between n stations in the plane in order to transport objects is well studied, even if the stations are specially arranged, e.g. on a linear track or circle. The robot may use either all or none of the stations for reloading. We will generalize these concepts of preemptiveness/non--preemptiveness and emancipate the robot by letting it choose k<=n reload--stations

Semi-Präemptives Transportieren

Das Problem, einen Roboter (oder ein Fahrzeug) so zwischen n Stationen zu steuern, daß m Objekte von ihrem Ausgangspunkt zu ihrem Ziel transportiert werden können und dabei die zurückgelegte Fahrstrecke minimiert wird, bezeichnet man als Pickup--And--Delivery--Problem. Diese Aufgabenstellung ist in der Vergangenheit gut untersucht worden, sogar wenn die Stationen auf eine besondere Weise angeordnet sind, z.B. in einer Reihe oder im Kreis. Üblicherweise darf der Roboter entweder jede oder keine Station als Umladestation benutzen. Man spricht in diesen Fällen von einem präemptiven bzw. nicht--präemptiven Transport. Wir werden diese Konzepte verallgemeinern, indem nur ein Teil der Stationen für das Umladen benutzt werden darf. In Anlehnung an die beiden anderen Versionen soll diese Fragestellung semi--präemptiv heißen. Dabei differenzieren wir zwischen einer exogenen und einer endogenen Variante. In der ersten darf der Roboter nur an gekennzeichneten Stationen umladen. In der zweiten teilen wir ihm eine Zahl k mit, und es ist Teil der Aufgabenstellung zu entscheiden, an welchen k Stationen umgeladen wird. Wir zeigen, daß sowohl die exogene als auch die endogene Version auf einem Pfad und auf einem Kreis effizient lösbar ist und geben jeweils dynamische Lösungverfahren an. Beide Varianten sind auf Bäumen NP--vollständig. Für den exogenen Fall geben wir einen Approximationsalgorithmus mit einer Güte von 4/3 an. Für die endogene Aufgabenstellung präsentieren wir eine (4/3+c)--Approximation für beliebiges c > 0. Schließlich nutzen ein bekanntes Resultat, um eine Approximation für das exogene und endogene Transportproblem auf metrisch gewichteten Graphen angeben zu können. Aus der angewandten Problemstellung ergibt sich ein graphentheoretisches Teilproblem, das wir näher untersuchen. In einem gerichteten Graphen G=(V,E^r\dot\cup E^b) mit einer rot/blau--partitionierten Kantenmenge soll zu gegebener Kostenfunktion eine kostenminimale und aufspannende Arboreszenz bestimmt werden, die höchstens d blaue Kanten benutzt. Wir geben ein voll polynomielles Approximationsschema an. Dieses nutzen wir, um das endogene Transportproblem auf Bäumen zu approximieren