Scheduling with communication for multiprocessor computation

Multiprocessor scheduling houdt zich bezig met de planning van de uitvoering van computer-programma s op een parallelle computer. Een computerprogramma kan worden gezien als een collectie instructies die gegroepeerd zijn in taken. Een parallelle computer is een computer met meerdere processoren die verbonden zijn door een communicatie-netwerk. Elke processor kan taken van een computerprogramma uitvoeren. Tijdens de uitvoering van een computerprogramma op een parallelle computer wordt elke taak ´ e´ en maal uitgevoerd. In het algemeen kunnen de taken van een computerprogramma niet in een willekeurige volgorde worden uitgevoerd: het resultaat van een taak kan nodig zijn om een andere taak uit te voeren. Zulke taken worden data-afhankelijk genoemd. De data-afhankelijkheden defini¨ eren de structuur van het computerprogramma: als taak u2 het resultaat van taak u1 nodig heeft, dan kan u2 pas worden uitgevoerd nadat u1 is voltooid. Als er geen data-afhankelijkheid bestaat tussen twee taken, dan kunnen ze in willekeurige volgorde of tege-lijkertijd worden uitgevoerd. Als twee data-afhankelijke taken u1 en u2 op verschillende processoren worden uitgevoerd, dan moet het resultaat van u1 naar de processor die u2 uitvoert worden overgebracht. Dit transport van informatie wordt communicatie genoemd. Het resultaat van u1 kan naar een andere processor worden overgebracht door het sturen van berichten door het communicatie-netwerk. Een schedule geeft voor elke taak aan welke processor hem uitvoert en op welk tijdstip. Het doel van multiprocessor scheduling is het construeren van een schedule van zo kort mogelijke duur, rekening houdend met de communicatie veroorzaakt door de data-afhankelijkheden tussen de taken. De duur van een schedule wordt in grote mate bepaald door de hoeveelheid communi-catie in het schedule: de duur van een schedule kan toenemen doordat een processor lange tijd geen taken kan uitvoeren, omdat hij staat te wachten op het resultaat van een taak die op een andere processor wordt uitgevoerd. Omdat de wijze waarop processoren van parallelle computers communiceren verschilt per computer, is het uiterst moeilijk om op effici¨ ente wijze goede schedules te construeren voor een computerprogramma op een parallelle computer. Daarom wordt in het algemeen een model van een parallelle computer gebruikt in plaats een echte parallelle computer. Zo n model wordt een parallel berekeningsmodel genoemd. In een parallel berekeningsmodel kan men zich concen-treren op die aspecten van communicatie die een grote invloed hebben op de kwaliteit van een schedule. Dit geeft de mogelijkheid deze aspecten beter te begrijpen. In dit proefschrift worden twee parallelle berekeningsmodellen beschouwd: het UCT model en het LogP model. Het UCT model richt zich op het bestuderen van ´ e´ en aspect van commu-nicatie: een tijdvertraging die nodig is om resultaten tussen processoren te transporteren. Het LogP model is een model dat meerdere aspecten van communicatie in acht neemt: door middel van een geschikt gekozen invulling van zijn parameters L, o, g en P kan het LogP model de communicatie in vele parallelle computers modelleren. Communicatie in het UCT model werkt als volgt. Als taak u2 het resultaat van taak u1 nodig heeft en deze taken zijn op verschillende processoren uitgevoerd, dan moet er een vertraging van tenminste ´ e´ en tijdstap zijn tussen de tijd waarop u1 wordt voltooid en de tijd waarop u2 start. 171?Deze vertraging is nodig om het resultaat van u1 naar de processor die u2 uitvoert te sturen. Als u1 en u2 op dezelfde processor worden uitgevoerd, dan is het resultaat van u1 al op de juiste processor beschikbaar en is er geen vertraging nodig. In dat geval kan u2 direct na u1 worden uitgevoerd. Communicatie in het LogP model is veel ingewikkelder. Beschouw wederom twee data-afhankelijke taken u1 en u2 die op verschillende processoren worden uitgevoerd. Neem aan dat het resultaat van u1 moet worden getransporteerd naar de processor die u2 uitvoert. In vele gevallen kan het transporteren van het resultaat van een taak niet met ´ e´ en bericht, maar zijn meerdere berichten nodig. Deze moeten naar de processor die u2 uitvoert worden gestuurd. Het versturen van ´ e´ en bericht kost o tijdstappen op de processor die u1 uitvoert; het ontvangen ervan kost o tijdstappen op de processor die u2 uitvoert. Daarnaast kan elke processor ten hoogste ´ e´ en bericht versturen of ontvangen in elke g opeenvolgende tijdstappen en is er een vertraging van precies L tijdstappen tussen het versturen en het ontvangen van een bericht. In het eerste deel van dit proefschrift (hoofdstukken 3, 4, 5, 6 en 7) worden algoritmen be-schreven die op effici¨ ente wijze schedules in het UCT model construeren. In hoofdstuk 4 wordt een algoritme beschreven dat goede schedules construeert voor willekeurige computerprogram-ma s. Voor computerprogramma s met een outforest-structuur construeert dit algoritme optimale schedules. In hoofdstuk 5 beschrijven we algoritmen die goede schedules construeren voor com-puterprogramma s met een inforest-structuur. De algoritmen die worden beschreven in hoofd-stukken 6 en 7 construeren optimale schedules voor computerprogramma s waarin het maximum aantal paarsgewijs data-onafhankelijke taken klein is en voor computerprogramma s met een in-terval order-structuur. Het tweede deel van dit proefschrift (hoofdstukken 8, 9, 10 en 11) houdt zich bezig met scheduling in het LogP model. In hoofdstukken 9 en 10 bewijzen we dat het construeren van optimale schedules voor computerprogramma s met een zeer eenvoudige boomstructuur (send graph-structuur of receive graph-structuur) waarschijnlijk niet op effici¨ ente wijze mogelijk is. In deze hoofdstukken worden effici¨ ente algoritmen beschreven die goede (maar niet noodzake-lijk optimale) schedules construeren voor computerprogramma s met een dergelijke structuur. In hoofdstuk 11 worden decompositie-algoritmen gebruikt om op effici¨ ente wijze schedules te construeren voor computerprogramma s met een algemene boomstructuur. Het blijkt dat optimale schedules in het UCT model op effici¨ ente wijze kunnen worden ge-construeerd als de structuur van de computerprogramma s eenvoudig is (bijvoorbeeld computer-programma s met een boomstructuur). De eenvoudige aard van de communicatie in het UCT model maakt dit mogelijk. Vandaar dat de complexiteit van scheduling in het UCT model met name bepaald wordt door de structuur van de computerprogramma s. Daarentegen maakt de communicatie het moeilijk om goede schedules in het LogP model te construeren, zelfs als de structuur van de computerprogramma s zeer eenvoudig is (bijvoorbeeld computerprogramma s met een send graph-structuur). Hieruit blijkt dat de complexiteit van scheduling in het LogP model in grote mate wordt bepaald door de ingewikkelde vorm van communicatie in dit model. 17

Scheduling outtrees of height one in the LogP model

The LogP model is a model of parallel computation that characterises a parallel computer system by four parameters: the latency L, the overhead o, the gap g and the number of processors P . We study the complexity of scheduling fork graphs in the LogP model. It will be proved that constructing minimum-length schedules for fork graphs in the LogP model is a strongly NP-hard optimisation problem. We also present a polynomial-time algorithm that constructs schedules that are at most twice as long as minimum-length schedules. Moreover, we prove that if all tasks of a fork graph have the same execution length, then a minimum-length schedule can be constructed in polynomial time. 1 Introduction In recent years, a great variety of parallel computer systems have been developed. Because of this variety, it is very difficult to construct a model that characterises all aspects of communication of a parallel computer system. A model of parallel computation can be used to focus on those aspects of..

Scheduling outtrees of height one in the LogP model

The LogP model is a model of parallel computation that characterises a parallel computer system by four parameters: the latency L, the overhead o, the gap g and the number of processors P. We study the complexity ofscheduling fork graphs in the LogP model. It will be proved that constructing minimum-length schedules for fork graphs in the LogP model is a strongly NP-hard optimisation problem. We also present a polynomial-time algorithm that constructs schedules that are at most twice as long as minimum-length schedules. Moreover, we prove that if all tasks of a fork graph have the same execution length, then a minimum-length schedule can be constructed in polynomial time.