Tomographie et géométrie discrètes avec la transformée Mojette

We explore through this thesis the insights of discrete tomography over classical tomography in continuous space. We use the Mojette transform, a discrete and exact form of the Radon transform, as a link between classical tomography and discrete tomography. We focus especially on the study of the discrete space induced by the Mojette transform operator through four research axis.Axis 1 focuses on the Mojette space properties in regards to discrete affine transforms of digital images. We provide tools to achieve affine transforms directly from the projections of a digital object, without preliminary tomographic reconstruction. This property is well-known for the continuous Radon transform but non-trivial for its sampled versions.Axis 2 seeks for some links between continuous-sampled projections related to medical imaging acquisition modalities and discrete projections derived by the Mojette transform. We implement interpolation schemes to estimate discrete projections from the continuous ones — on either synthetic or real data — and their reconstruction.In axis 3, we provide an algebraic framework for the description and inversion of the Mojette transform. The input data, the projections as well as the operators are modeled as polynomials. Within this framework, the Mojette projection operator advantageously reduce to a Vandermonde matrix.This thesis has been realized at both IRCCyN Lab and Keosys company within the Quanticardi FUI project. Axis 4 focuses on the design and the implementation of a clinical software for the absolute quantification of myocardial perfusion with positron emission tomography.Dans cette thèse, nous explorons les voies offertes par la tomographie discrète par rapport à la tomographie classique en milieu continu. Nous utilisons la transformée Mojette, version discrète et exacte de la transformée de Radon, que nous présentons comme un lien entre la tomographie classique et la tomographie discrète. Nous nous attachons à l’étude de l’espace sous-jacent à l’opérateur de transformée Mojette. Ce travail se décline suivant quatre axes de recherche.L’axe 1 est consacré au comportement de l’espace Mojette pour les transformations affines discrètes de l’image. Nous montrons qu’il est possible de réaliser certaines transformations affines directement à partir des projections discrètes d’un objet, sans reconstruction préalable.L’axe 2 consiste à examiner les liens entre les projections continues issues de modalités d’acquisitions en imagerie médicale et celles obtenues par transformée Mojette. Nous présentons différentes méthodes d’estimation des projections discrètes à partir de projections continues — réelles ou simulées — et leur reconstruction.L’axe 3 a pour objet l’inversion algébrique de la transformée Mojette. Les données d’entrée, les projections et les opérateurs sont modélisés par des polynômes. Ce formalisme, relevant de la tomographie discrète, permet d’exprimer la matrice de transformation Mojette sous forme Vandermonde.Cette thèse a été réalisée conjointement à l’IRCCyN et à Keosys dans le cadre du projet FUI Quanticardi. L’axe 4 est dédié à la conception et au développement d’un logiciel de quantification absolue de la perfusion myocardique en tomographie par émission de positons

Rotations in the Mojette space

International audienceIn this paper, we develop an exact, reversible and scale change rotation in the Mojette projection space. The whole process is performed using 1D fast operators and has the advantage to be consistent with standard tomographic geometry

Mojette space transformations

International audienceThe Mojette transform is a tool for discrete tomography. An image can be recovered exactly from a set of its discrete projections. In this paper, we define algorithms to perform exact, reversible and scale change rotations in the Mojette space, taking advantage of its inherent rotational structure. The whole process is thus achieved by a series of 1D operations on each Mojette projection, reducing the complexity problem. The inverse operation is similar to the direct rotation with opposite angle and inverse scale factor