Le direzioni della logica in Italia: la reverse mathematics e l'analisi computazionale

Nelle conversazioni tra matematici non \ue8 infrequente sentire affermazioni del tipo \u201ci teoremi \u3a6 e \u3a8 sono equivalenti\u201d, oppure \u201cil teorema \u3a6 \ue8 pi\uf9 forte del teorema \u3a8\u201d. Dato che \u3a6 e \u3a8 (essendo teoremi) sono entrambi dimostrabili, prendendo alla lettera le due affermazioni abbiamo che la prima \ue8 banalmente vera e la seconda banalmente falsa. Sappiamo tutti per\uf2 che queste affermazioni hanno un altro significato, molto meno banale, e c\u2019\ue8 quindi una ragione per cui vengono fatte. Negli ultimi decenni la logica matematica ha sviluppato alcuni strumenti in grado di rendere precise, e suscettibili di dimostrazione o refutazione, affermazioni come le precedenti. In particolare ci riferiamo alla reverse mathematics e all\u2019analisi computazionale. Questi sono due programmi di ricerca di origine diverse che nell\u2019ultimo decennio, anche grazie al contributo di alcuni ricercatori italiani, hanno trovato significativi punti di contatto. In questo lavoro presenteremo i due programmi, con particolare riferimento alle loro aree di contatto. Evidenzieremo in particolare i contributi dei ricercatori italiani attivi in queste aree, e concluderemo indicando alcune prospettive di sviluppo su cui anche in Italia si sta cercando di lavorare

Reverse mathematics, young diagrams, and the ascending chain condition

Let S be the group of finitely supported permutations of a countably infinite set. Let K[S] be the group algebra of S over a field K of characteristic 0. According to a theorem of Formanek and Lawrence, K[S] satisfies the ascending chain condition for two-sided ideals. We study the reverse mathematics of this theorem, proving its equivalence over RCA0 (or even over RCA0 ∗) to the statement that ωω is well ordered. Our equivalence proof proceeds via the statement that the Young diagrams form a well partial ordering. © 2017 The Association for Symbolic Logic