Représentations des polynômes, algorithmes et bornes inférieures

La complexité algorithmique est l'étude des ressources nécessaires le temps, la mémoire, pour résoudre un problème de manière algorithmique. Dans ce cadre, la théorie de la complexité algébrique est l'étude de la complexité algorithmique de problèmes de nature algébrique, concernant des polynômes.Dans cette thèse, nous étudions différents aspects de la complexité algébrique. D'une part, nous nous intéressons à l'expressivité des déterminants de matrices comme représentations des polynômes dans le modèle de complexité de Valiant. Nous montrons que les matrices symétriques ont la même expressivité que les matrices quelconques dès que la caractéristique du corps est différente de deux, mais que ce n'est plus le cas en caractéristique deux. Nous construisons également la représentation la plus compacte connue du permanent par un déterminant. D'autre part, nous étudions la complexité algorithmique de problèmes algébriques. Nous montrons que la détection de racines dans un système de n polynômes homogènes à n variables est NP-difficile. En lien avec la question VP = VNP ? , version algébrique de P = NP ? , nous obtenons une borne inférieure pour le calcul du permanent d'une matrice par un circuit arithmétique, et nous exhibons des liens unissant ce problème et celui du test d'identité polynomiale. Enfin nous fournissons des algorithmes efficaces pour la factorisation des polynômes lacunaires à deux variables.Computational complexity is the study of the resources time, memory, needed to algorithmically solve a problem. Within these settings, algebraic complexity theory is the study of the computational complexity of problems of algebraic nature, concerning polynomials. In this thesis, we study several aspects of algebraic complexity. On the one hand, we are interested in the expressiveness of the determinants of matrices as representations of polynomials in Valiant's model of complexity. We show that symmetric matrices have the same expressiveness as the ordinary matrices as soon as the characteristic of the underlying field in different from two, but that this is not the case anymore in characteristic two. We also build the smallest known representation of the permanent by a determinant.On the other hand, we study the computational complexity of algebraic problems. We show that the detection of roots in a system of n homogeneous polynomials in n variables in NP-hard. In line with the VP = VNP ? question, which is the algebraic version of P = NP? we obtain a lower bound for the computation of the permanent of a matrix by an arithmetic circuit, and we point out the links between this problem and the polynomial identity testing problem. Finally, we give efficient algorithms for the factorization of lacunary bivariate polynomials.LYON-ENS Sciences (693872304) / SudocSudocFranceF

Décidabilité et Complexité

International audienceL'informatique fondamentale est un vaste sujet, comme en témoignent les 2 283 et 3 176 pages des "Handbooks" (228; 1). Couvrir en quelques dizaines de pages, l'ensemble de l'in- formatique nous a semblé une entreprise hors de notre portée. De ce fait, nous nous sommes concentrés sur la notion de calcul, sujet qui reflète le goût et la passion des auteurs de ce chapitre. La notion de calcul est omniprésente et aussi ancienne que les mathématiques

On the trajectory design, guidance and control for spacecraft rendezvous and proximity operations

Le succès des missions spatiales repose de plus en plus souvent sur la coopération entre différents engins spatiaux. Le rendez-vous en orbite est une pratique aussi ancienne que la conquête spatiale et qui a généré de nombreux travaux depuis les années 50. Cependant, les motivations et objectifs des récentes missions de rendez-vous orbital ont largement évolués. En effet, les besoins d'une autonomie accrue, d'une plus grande flexibilité et de réduction du coût sont une incitation forte au développement de nouvelles méthodes de guidage et contrôle. Ainsi, la sécurité de chaque mission impose des restrictions sur les trajectoires de rendez-vous. En même temps, les technologies embarquées impliquent la prise en compte des limitations des actionneurs et des imperfection des capteurs. Ce contexte nouveau génère des défis scientifiques que les algorithmes développés dans cette thèse tente de relever. Les travaux de cette thèse sont basées sur l'analyse structurelle des expressions décrivant le mouvement relatif entre deux véhicules en orbite. Une nouvelle paramétrisation du mouvement relatif est déduite de cette analyse. Elle permet de caractériser les trajectoires relatives qui respectent un ensemble de contraintes. En utilisant ce résultat, un lien formel est développé entre les paramètres définissant des trajectoires relatives inscrites dans un polyèdre et le cône des matrices semi définies positives. Ce lien est ensuite exploité dans des algorithmes de design de trajectoires pour des opérations de proximité, sous hypothèse de poussée impulsionnelle. Ces algorithmes ont, entre autre, la propriété de permettre la satisfaction des contraintes sur la trajectoire de manière continue dans le temps, tout en utilisant les outils numériques de la programmation convexe. Le problème spécifique de la robustesse des manœuvres aux incertitudes de la chaîne de mesure est aussi abordé dans ce manuscrit. Des approches de type commande prédictive sont mises en place afin de garantir aux opérations une précision souhaitée en présence de perturbations.Recent space missions rely more and more on the cooperation between different spacecraft in order to achieve a desired objective. Among the spacecraft proximity operations, the orbital rendezvous is a classical example that has generated a large amount of studies since the beginning of the space exploration. However, the motivations and objectives for the proximity operations have considerably changed. The need for higher autonomy, better security and lower costs prompts for the development of new guidance and control algorithms. The presence of different types of constraints and physical limitations also contributes to the increased complexity of the problem. In this challenging context, this dissertation represents a contribution to the development of new spacecraft guidance and control algorithms. The works presented in this dissertation are based on a structural analysis of the spacecraft relative dynamics. Using a simplified model, a new set of parametric expressions is developed for the relative motion. This parametrization is very well suited for the analysis of the geometric properties of periodic relative trajectories and for handling different types of state constraints. A formal connection is evidenced between the set of parameters that define constrained trajectories and the cone of positive semi-definite matrices. This result is exploited in the design of spacecraft relative trajectories for proximity operations, in the impulsive control framework. The resulting guidance algorithms enable the guaranteed continuous constraints satisfaction, while still relying on semi-definite programming tools. The problem of the robustness of the computed maneuvers with respect to navigation uncertainties is also addressed

Modèles d’optimisation stochastique pour le problème de gestion de réservoirs

RÉSUMÉ : La gestion d’un système hydroélectrique représente un problème d’une grande complexité pour des compagnies comme Hydro-Québec ou Rio Tinto. Il faut effectivement faire un compromis entre plusieurs objectifs comme la sécurité des riverains, la production hydroélectrique, l’irrigation et les besoins de navigation et de villégiature. Les opérateurs doivent également prendre en compte la topologie du terrain, les délais d’écoulement, les interdépendances entre les réservoirs ainsi que plusieurs phénomènes non linéaires physiques. Même dans un cadre déterministe, ces nombreuses contraintes opérationnelles peuvent mener à des problèmes irréalisables sous certaines conditions hydrologiques. Par ailleurs, la considération de la production hydroélectrique complique considérablement la gestion du bassin versant. Une modélisation réaliste nécessite notamment de prendre en compte la hauteur de chute variable aux centrales, ce qui mène à un problème non convexe. En outre, de nombreuses sources d’incertitude entourent la réalisation d’un plan de production. Les prix de l’électricité sur les marchés internationaux, la disponibilité des turbines, la charge/demande du réseau ainsi que les apports en eau sont tous incertains au moment d’établir les soutirages et les déversés pour un horizon temporel donné. Négliger cette incertitude et supposer une connaissance parfaite du futur peut mener à des politiques de gestion beaucoup trop ambitieuses. Ces dernières ont tendance à engendrer des conséquences désastreuses comme le vidage ou le remplissage très rapide des réservoirs, ce qui conduit ensuite à des inondations ou des sécheresses importantes. Cette thèse considère le problème de gestion de réservoirs avec incertitude sur les apports. Elle tente spécifiquement de développer des modèles et des algorithmes permettant d’améliorer la gestion mensuelle de la rivière Gatineau, notamment en période de crue. Dans cette situation, il est primordial de considérer l’incertitude autour des apports, car ces derniers ont une influence marquée sur l’état hydrologique du système en plus d’être la cause d’évènements désastreux comme les inondations. La gestion des inondations est particulièrement importante pour la Gatineau, car la rivière coule près de la ville de Maniwaki qui a déjà vécu des inondations dans le passé et continue de présenter des risques importants. Cette rivière représente également une excellente étude de cas, car elle possède plusieurs barrages et réservoirs. La grande dimension du système rend difficile l’application de certains algorithmes populaires comme la programmation dynamique stochastique. Afin de minimiser le risque d’inondations, on propose initialement un modèle de programmation stochastique multi-étapes (multi-stage stochastic program) basé sur les règles de décision affine et les règles de décision affines liftées. On considère l’aversion au risque en évaluant la valeur à risque conditionnelle (conditional value-at-risk) aussi connue comme "CVaR". Ce travail considère une représen-tation polyhédrale de l’incertitude très simple basée sur la moyenne et la variance d’échantillon. Le deuxième article propose d’améliorer cette Représentation de l’incertitude en considérant explicitement la corrélation temporelle entre les apports. À cet effet, il introduit les modèles de séries chronologiques de type ARIMA et présente une manière de les incorporer efficacement dans un modèle multi-étapes avec règles de décision. On étend ensuite l’approche pour évaluer les processus GARCH, ce qui permet d’incorporer l’hétéroscédasticité. Le troisième travail raffine la représentation de l’incertitude utilisée dans le deuxième travail en s’appuyant sur un modèle ARMA calibré sur le logarithme des apports. Cette représentation non linéaire mène à un ensemble d’incertitude non convexe qu’on choisit d’approximer de façon conservatrice par un polyhèdre. Ce modèle offre néanmoins plusieurs avantages comme la possibilité de dériver une expression analytique pour l’espérance conditionnelle. Afin de considérer la hauteur de chute variable, on propose un algorithme de région de confiance très simple, mais efficace. Ces travaux montrent qu’il est possible d’obtenir de bons résultats pour le problème de gestion de réservoir en considérant les règles de décision linéaires en combinaison avec une représentation basée sur les processus ARIMA.----------ABSTRACT : The problem of designing an optimal release schedule for a hydroelectric system is extremely challenging for companies like Rio Tinto and Hydro-Québec. It is essential to strike an adequate compromise between various conflicting objectives such a riparian security, hydroelectric production as well as navigation and irrigation needs. Operators must also consider the topology of the terrain, water delays, dependence between reservoirs as well as non-linear physical phenomena. Even in a deterministic framework, it may be impossible to find a feasible solution under given hydrological conditions. Considering hydro-electricity generation further complicates the problem. Indeed, a realistic model must take into account variable water head, which leads to an intractable bilinear non-convex problem. In addition, there exists various sources of uncertainty surrounding the elaboration of the production plan. The price of electricity on foreign markets, availability of turbines, load of the network and water inflows all remain uncertain at the time of fixing water releases and spills over the given planning horizon. Neglecting this uncertainty and assuming perfect foresight will lead to overly ambitious policies. These decisions will in turn generate disastrous consequences such as very rapid emptying or filling of reservoirs, which in turn generate droughts or floods. This thesis considers the reservoir management problem with uncertain inflows. It aims at developing models and algorithms to improve the management of the Gatineau river, namely during the freshet. In this situation, it is essential to consider the randomness of inflows since these drive the dynamics of the systems and can lead to disastrous consequences like floods. Flood management is particularly important for the Gatineau, since the river runs near the town of Maniwaki, which has witnessed several floods in the past. This river also represents a good case study because it comprises various reservoirs and dams. This multi-dimensionality makes it difficult to apply popular algorithms such as stochastic dynamic programming. In order to minimize the risk of floods, we initially propose a multi-stage stochastic program based on affine and lifted decision rules. We capture risk aversion by optimizing the conditional value-at-risk also known as "CVaR". This work considers a simple polyhedral uncertainty representation based on the sample mean and variance. The second paper builds on this work by explicitly considering the serial correlation between inflows. In order to do so, it introduces ARIMA time series models and details their incorporation into multi-stage stochastic programs with decision rules. The approach is then extended to take into account heteroscedasticity with GARCH models The third work further refines the uncertainty representation by calibrating an ARMA model on the log of inflows. This leads to a non-convex uncertainty set, which is approximated with a simple polyhedron. This model offers various advantages such as increased forecasting skill and ability to derive an analytical expression for the conditional expectation. In order to consider the variable water head, we propose a successive linear programming (SLP) algorithm which quickly yields good solutions. These works illustrate the value of using affine decision rules in conjunction with ARIMA models to obtain good quality solutions to complex multi-stage stochastic problems

Semidefinite Programming. methods and algorithms for energy management

La présente thèse a pour objet d explorer les potentialités d une méthode prometteuse de l optimisation conique, la programmation semi-définie positive (SDP), pour les problèmes de management d énergie, à savoir relatifs à la satisfaction des équilibres offre-demande électrique et gazier.Nos travaux se déclinent selon deux axes. Tout d abord nous nous intéressons à l utilisation de la SDP pour produire des relaxations de problèmes combinatoires et quadratiques. Si une relaxation SDP dite standard peut être élaborée très simplement, il est généralement souhaitable de la renforcer par des coupes, pouvant être déterminées par l'étude de la structure du problème ou à l'aide de méthodes plus systématiques. Nous mettons en œuvre ces deux approches sur différentes modélisations du problème de planification des arrêts nucléaires, réputé pour sa difficulté combinatoire. Nous terminons sur ce sujet par une expérimentation de la hiérarchie de Lasserre, donnant lieu à une suite de SDP dont la valeur optimale tend vers la solution du problème initial.Le second axe de la thèse porte sur l'application de la SDP à la prise en compte de l'incertitude. Nous mettons en œuvre une approche originale dénommée optimisation distributionnellement robuste , pouvant être vue comme un compromis entre optimisation stochastique et optimisation robuste et menant à des approximations sous forme de SDP. Nous nous appliquons à estimer l'apport de cette approche sur un problème d'équilibre offre-demande avec incertitude. Puis, nous présentons une relaxation SDP pour les problèmes MISOCP. Cette relaxation se révèle être de très bonne qualité, tout en ne nécessitant qu un temps de calcul raisonnable. La SDP se confirme donc être une méthode d optimisation prometteuse qui offre de nombreuses opportunités d'innovation en management d énergie.The present thesis aims at exploring the potentialities of a powerful optimization technique, namely Semidefinite Programming, for addressing some difficult problems of energy management. We pursue two main objectives. The first one consists of using SDP to provide tight relaxations of combinatorial and quadratic problems. A first relaxation, called standard can be derived in a generic way but it is generally desirable to reinforce them, by means of tailor-made tools or in a systematic fashion. These two approaches are implemented on different models of the Nuclear Outages Scheduling Problem, a famous combinatorial problem. We conclude this topic by experimenting the Lasserre's hierarchy on this problem, leading to a sequence of semidefinite relaxations whose optimal values tends to the optimal value of the initial problem.The second objective deals with the use of SDP for the treatment of uncertainty. We investigate an original approach called distributionnally robust optimization , that can be seen as a compromise between stochastic and robust optimization and admits approximations under the form of a SDP. We compare the benefits of this method w.r.t classical approaches on a demand/supply equilibrium problem. Finally, we propose a scheme for deriving SDP relaxations of MISOCP and we report promising computational results indicating that the semidefinite relaxation improves significantly the continuous relaxation, while requiring a reasonable computational effort.SDP therefore proves to be a promising optimization method that offers great opportunities for innovation in energy management.PARIS11-SCD-Bib. électronique (914719901) / SudocSudocFranceF

Fragments d'Optimisation Différentiable - Théories et Algorithmes

MasterLecture Notes (in French) of optimization courses given at ENSTA (Paris, next Saclay), ENSAE (Paris) and at the universities Paris I, Paris VI and Paris Saclay (979 pages).Syllabus d’enseignements délivrés à l’ENSTA (Paris, puis Saclay), à l’ENSAE (Paris) et aux universités Paris I, Paris VI et Paris Saclay (979 pages)