Anwendungsorientierte robuste Regelung einer Klasse unendlich-dimensionaler Systeme am Beispiel eines trimorphen Biegewandlers

Die vorliegende Arbeit thematisiert ein methodisches Vorgehen zur Synthese hoch performanter robuster endlich-dimensionaler Regler für eine Klasse unendlich-dimensionaler Systeme mit unbeschränkten Ein-/Ausgangsoperatoren am Beispiel eines trimorphen Biegewandlers. Das propagierte Vorgehen zeichnet sich durch einen theoretisch untermauerten Brückenschlag aus, der zwischen der rigorosen mathematischen Theorie unendlich-dimensionaler Systeme einerseits und den ausgereiften, praxiserprobten sowie leicht handhabbaren Syntheseverfahren robuster endlich-dimensionaler Regler nach der H∞-Methode beziehungsweise auf Basis der μ-Synthese andererseits vorgenommen wird. Der durch diese Arbeit geleistete Beitrag zum Eintrag mathematischer Theorie und Methodik in den Methodenbaukasten der Ingenieure umfasst damit ein fundiertes und zugleich praktikables Vorgehen zur Synthese leistungsstarker endlich-dimensionaler Regler für eine umfangreiche Klasse unendlich-dimensionaler Systeme. Einleitend vermittelt eine vergleichende Gegenüberstellung der im regelungstechnischen Kontext gebräuchlichen mathematischen Realisierungen endlich-dimensionaler Systeme und denen ausgewählter Klassen unendlich-dimensionaler Systeme einen eingängigen Zugang zu der diskutierten Thematik. Mit der Pritchard-Salamon-Klasse wird dabei eine Systemklasse eingeführt, die eine Formulierung des Beispielsystems erlaubt und für die zugleich eine umfangreiche sowie ausgereifte Theorie existiert, die wesentliche systemtheoretische Aspekte abdeckt und dabei vielfach klare Analogien zum endlich-dimensionalen Fall aufweist. Innerhalb dieser Arbeit erfolgt dabei erstmalig die explizite Formulierung der den betrachteten trimorphen Biegewandler charakterisierenden Systemdynamik in der Pritchard-Salamon-Klasse. Dieser Zugehörigkeitsbeweis ersetzt den Nachweis essentieller Systemeigenschaften, wie beispielsweise der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen unter Berücksichtigung einer umfangreichen Klasse von Eingangssignalen und der Existenz verschiedener äquivalenter mathematischer Realisierungsformen. Im Anschluss an die Ausführungen zur mathematischen Realisierung dient die Analyse und Klassifizierung des Beispielsystems bezüglich ausgesuchter systemtheoretischer Aspekte der Gewinnung eines ausreichend tiefgreifenden Systemverständnisses, um im Hinblick auf die Reglersynthese einen fundierten Entscheidungsprozess zu ermöglichen. Insbesondere erfolgt im Rahmen der Systemanalyse eine Lösung des Eigenwertproblems des Systemoperators, die Klassifizierung des Systemoperators als diagonalisierbarer Operator und die Klassifizierung der dem System zugeordneten stark stetigen Halbgruppe als analytische Halbgruppe. Ferner wird die Nuklearität des dem Beispielsystem zugeordneten Hankel-Operators gezeigt, die approximative Steuer- und Beobachtbarkeit des trimorphen Biegewandlers festgestellt sowie der Nachweis der exponentiellen Stabilität des Beispielssystems erbracht. Um die Synthese leistungsstarker endlich-dimensionaler Regler zu ermöglichen, umfasst die nachfolgend beschriebene Methodik zur Anwendung indirekter Reglersyntheseverfahren eine konsistente Auswahl des Approximationsverfahrens, der Unsicherheitsbeschreibungen und der eigentlichen Reglersyntheseverfahren. Als ein im Hinblick auf die Reglersynthese aussagekräftiges Maß zur Beurteilung der Eignung und Güte eines Approximationsverfahrens wird dabei die Konvergenz im Sinne der Gap-Metrik angesehen. Entsprechend erfolgt der Nachweis der Konvergenz im Sinne dieser Metrik für das zur Approximation des Beispielsystems verwendete modale Approximationsverfahren, welches ein Spezialfall eines Petrov-Galerkin-Verfahrens darstellt. Im Anschluss an die Approximation wird dem unendlich-dimensionalen Charakter der Strecke nur noch implizit durch die Berücksichtigung einer Modellschar Rechnung getragen. Die Wahl der Struktur der dabei zugrunde liegenden Unsicherheitsformulierung erlaubt eine einfache Integration der resultierenden Modellschar in die Entwurfsprobleme der eingesetzten Reglersyntheseverfahren, ohne dabei übermäßige Konservativität zu induzieren. Im Vorfeld des Reglerentwurfs wird eine an den Regelungszielen orientierte Festlegung auf eine Regelkreisstruktur mit zwei Freiheitsgraden getroffen. Im Einklang mit dieser Struktur erfolgt die Synthese einer Modellfolgeregelung in einem einzelnen Entwurfsschritt sowohl nach der H∞-Methodik als auch mittels der μ-Synthese. Daran schließt sich die Synthese einer Trajektorienfolgeregelung unter Verwendung einer flachheitsbasierten Vorsteuerung sowie einer mittels der μ-Synthese entworfenen Rückführung an. Die ausgewählten Syntheseverfahren gewährleisten jeweils in Kombination mit einem geeignet formulierten Entwurfsproblem a priori die robuste Stabilität des geschlossenen Regelkreises gegenüber der verwendeten Modellschar. Im Fall der μ-Synthese sind hinsichtlich berücksichtigter Modellscharen ohne weitere Analysen zusätzlich Aussagen bezüglich der robusten Performance des geschlossenen Regelkreises möglich. Der Entwurfsprozess wird durch eine abschließende Analyse aller aus der Verwendung der synthetisierten Regler resultierenden Regelkreise hinsichtlich essentieller nomineller und robuster Regelkreiseigenschaften sowie ihres jeweiligen Verhaltens im Zeitbereich vervollständigt. Der maßgebliche Nachweis für die Eignung des vorgeschlagenen Vorgehens erfolgt durch die Anwendung der jeweiligen Regler auf die reale Strecke, daraus resultiert abschließend eine eindrucksvolle Bestätigung der Leistungsfähigkeit und der praktischen Verwendbarkeit der propagierten Vorgehensweise