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Proper orientation number of triangle-free bridgeless outerplanar graphs
An orientation of is a digraph obtained from by replacing each edge
by exactly one of two possible arcs with the same endpoints. We call an
orientation \emph{proper} if neighbouring vertices have different in-degrees.
The proper orientation number of a graph , denoted by , is
the minimum maximum in-degree of a proper orientation of G. Araujo et al.
(Theor. Comput. Sci. 639 (2016) 14--25) asked whether there is a constant
such that for every outerplanar graph and showed that
for every cactus We prove that
if is a triangle-free -connected outerplanar graph and
if is a triangle-free bridgeless outerplanar graph
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Combinatorics
Combinatorics is a fundamental mathematical discipline which focuses on the study of discrete objects and their properties. The current workshop brought together researchers from diverse fields such as Extremal and Probabilistic Combinatorics, Discrete Geometry, Graph theory, Combiantorial Optimization and Algebraic Combinatorics for a fruitful interaction. New results, methods and developments and future challenges were discussed. This is a report on the meeting containing abstracts of the presentations and a summary of the problem session
Schematics of Graphs and Hypergraphs
Graphenzeichnen als ein Teilgebiet der Informatik befasst sich mit dem Ziel Graphen oder deren Verallgemeinerung Hypergraphen geometrisch zu realisieren. BeschrĂ€nkt man sich dabei auf visuelles Hervorheben von wesentlichen Informationen in Zeichenmodellen, spricht man von Schemata. Hauptinstrumente sind Konstruktionsalgorithmen und Charakterisierungen von Graphenklassen, die fĂŒr die Konstruktion geeignet sind. In dieser Arbeit werden Schemata fĂŒr Graphen und Hypergraphen formalisiert und mit den genannten Instrumenten untersucht. In der Dissertation wird zunĂ€chst das âpartial edge drawingâ (kurz: PED) Modell fĂŒr Graphen (bezĂŒglich gradliniger Zeichnung) untersucht. Dabei wird um Kreuzungen im Zentrum der Kante visuell zu eliminieren jede Kante durch ein kreuzungsfreies TeilstĂŒck (= Stummel) am Start- und am Zielknoten ersetzt. Als Standard hat sich eine PED-Variante etabliert, in der das LĂ€ngenverhĂ€ltnis zwischen Stummel und Kante genau 1â4 ist (kurz: 1â4-SHPED). FĂŒr 1â4-SHPEDs werden Konstruktionsalgorithmen, Klassifizierung, Implementierung und Evaluation prĂ€sentiert. AuĂerdem werden PED-Varianten mit festen Knotenpositionen und auf Basis orthogonaler Zeichnungen erforscht. Danach wird das BUS Modell fĂŒr Hypergraphen untersucht, in welchem Hyperkanten durch fette horizontale oder vertikale â als BUS bezeichnete â Segmente reprĂ€sentiert werden. Dazu wird eine vollstĂ€ndige Charakterisierung von planaren Inzidenzgraphen von Hypergraphen angegeben, die eine planare Zeichnung im BUS Modell besitzen, und diverse planare BUS-Varianten mit festen Knotenpositionen werden diskutiert. Zum Schluss wird erstmals eine Punktmenge von subquadratischer GröĂe angegeben, die eine planare Einbettung (Knoten werden auf Punkte abgebildet) von 2-auĂenplanaren Graphen ermöglicht
New Parameters for Beyond-Planar Graphs
Parameters for graphs appear frequently throughout the history of research in this field. They represent very important measures for the properties of graphs and graph drawings, and are often a main criterion for their classification and their aesthetic perception. In this direction, we provide new results for the following graph parameters:
â The segment complexity of trees;
â the membership of graphs of bounded vertex degree to certain graph classes;
â the maximal complete and complete bipartite graphs contained in certain graph classes beyond-planarity;
â the crossing number of graphs;
â edge densities for outer-gap-planar graphs and for bipartite gap-planar graphs with certain properties;
â edge densities and inclusion relationships for 2-layer graphs, as well as characterizations for complete bipartite graphs in the 2-layer setting