Normalisation in Deep Inference

Στην διπλωματική αυτή εργασία γίνεται μια αναλυτική παρουσίαση του λογισμού των δομών, ενός φορμαλισμού της θεωρίας αποδείξεων που χρησιμοποιεί deep inference. Αυτό σημαίνει ότι οι συμπερασματικοί κανόνες εφαρμόζονται οσοδήποτε βαθιά στην πολυπλοκότητα ενός τύπου. Έπεται ότι οι αποδείξεις έχουν συμμετρική αντί για δενδρική μορφή. Εισάγουμε ένα σύστημα για την κλασική πρωτοβάθμια λογική και το συγκρίνουμε με το αντίστοιχο στον λογισμό ακολουθητών. Βλέπουμε πως επιτυγχάνεται τοπικότητα, δηλαδή κάθε λογικός κανόνας έχει σταθερή πολυπλοκότητα. Η εργασία τελικά εστιάζει στους διάφορους ορισμούς της κανονικής μορφής μιας απόδειξης.In this thesis we present the calculus of structures, a proof-theoretic formalism using deep inference. This means that inference rules apply arbitrarily deep inside formulas. It follows that derivations are now symmetric instead of tree-shape objects. A system for classical predicate logic is introduced and compared with the corresponding sequent calculus system. They both have an admissible Cut rule. However, locality can be obtained with deep inference, meaning that the effort of applying a rule is always bounded. Then we investigate what normal forms of deductions have been defined. Besides cut elimination, we can adopt two other notions of normalisation that allow cuts inside a derivation, under some constraints. We will try to remark common things and differences between normalisation in deep and shallow inference