Master equations for finite state mean field games with nonlinear activations

We formulate a class of mean field games on a finite state space with variational principles resembling those in continuous-state mean field games. We construct a controlled continuity equation featuring a nonlinear activation function on graphs induced by finite-state reversible continuous time Markov chains. In these graphs, each edge is weighted by the transition probability and invariant measure of the original process. Using these controlled dynamics on the graph and the dynamic programming principle for the value function, we derive several key components: the mean field game systems, the functional Hamilton-Jacobi equations, and the master equations on a finite probability space for potential mean field games. The existence and uniqueness of solutions to the potential mean field game system are ensured through a convex optimization reformulation in terms of the density-flux pair. We also derive variational principles for the master equations of both non-potential games and mixed games on a continuous state space. Finally, we offer several concrete examples of discrete mean field game dynamics on a two-point space, complete with closed-formula solutions. These examples include discrete Wasserstein distances, mean field planning, and potential mean field games.Comment: 39 page

Entropic gradient flow structure of quantum Markov semigroups

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Konstruktion einer nichtkommutativen Transportmetrik, die es erlaubt, spursymmetrische vollständig Markovsche Halbgruppen als Gradientenfluss eines Entropiefunktionals aufzufassen. Eine vollständig Markovsche Halbgruppe ist eine Halbgruppe von unitalen, vollständig positiven Operatoren auf einer von Neumann algebra mit gewissen Stetigkeitseigenschaften. Ein Gradientenfluss eines Funktionals auf einem metrischen Raum ist eine Kurve, die zu jedem Zeitpunkt in die Richtung des steilsten Abstieges fließt. Es ist in einer Reihe von Fällen bekannt, dass man die Gradientenflüsse der Boltzmann-Entropie oder ihres nichtkommutativen Analogons, der von Neumann-Entropie, bezüglich geeigneter Transportmetriken als Lösungen von linearen Evolutionsgleichungen charakterisieren kann, zum Beispiel der Wärmeleitungsgleichung oder der Lindblad Master Equation. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass das gemeinsame zugrundeliegende Prinzip in all diesen Fällen die Markoveigenschaft der linearen Evolutionsgleichung ist. Dazu wird für eine gegebene spursymmetrische vollständig Markovsche Halbgruppe eine Transportmetrik auf dem Raum der Dichteoperatoren konstruiert, die die Metriken in den oben genannten Fällen verallgemeinert. Es wird bewiesen, dass unter geeigneten Voraussetzungen die gegebene Halbgruppe der eindeutige Gradientenfluss der von Neumann-Entropie ist. Als Konsequenzen werden Semikonvexität der Entropie entlang von Geodäten und Funktionalungleichungenfür die Halbgruppe diskutiert