Polyominoes and Polyiamonds as Fundamental Domains of Isohedral Tilings with Rotational Symmetry

We describe computer algorithms that produce the complete set of isohedral tilings by n-omino or n-iamond tiles in which the tiles are fundamental domains and the tilings have 3-, 4-, or 6-fold rotational symmetry. The symmetry groups of such tilings are of types p3, p31m, p4, p4g, and p6. There are no isohedral tilings with symmetry groups p3m1, p4m, or p6m that have polyominoes or polyiamonds as fundamental domains. We display the algorithms' output and give enumeration tables for small values of n. This expands on our earlier works (Fukuda et al 2006, 2008)

Оценка числа решетчатых разбиений плоскости на центрально-симметричные полимино заданной площади

We study a problem about the number of lattice plane tilings by the given area centrosymmetrical polyominoes. A polyomino is a connected plane geomatric figure formed by joiining a finite number of unit squares edge to edge. At present, various combinatorial enumeration problems connected to the polyomino are actively studied. There are some interesting problems on enuneration of various classes of polyominoes and enumeration of tilings of finite regions or a plane by polyominoes. In particular, the tiling is a lattice tiling if each tile can be mapped to any other tile by a translation which maps the whole tiling to itself. Earlier we proved that, for the number T(n) of a lattice plane tilings by polyominoes of an area n, holds the inequalities 2n−3 + 2[ n−3 2 ] ≤ T(n) ≤ C(n + 1)3 (2, 7)n+1 . In the present work we prove a similar estimate for the number of lattice tilings with an additional central symmetry. Let Tc(n) be a number of lattice plane tilings by a given area centrosymmetrical polyominoes such that its translation lattice is a sublattice of Z 2 . It is proved that C1( √ 2)n ≤ Tc(n) ≤ C2n 2 ( √ 2.68)n . In the proof of a lower bound we give an explicit construction of required lattice plane tilings. The proof of an upper bound is based on a criterion of the existence of lattice plane tiling by polyominoes, and on the theory of self-avoiding walks on a square lattice.В работе рассматривается задача о числе решетчатых разбиений плоскости на центрально–симметричные полимино заданной площади. Полимино представляет собой связную фигуру на плоскости, составленную из конечного числа единичных квадратов, примыкающих друг к другу по сторонам. В настоящее время активно исследуются различные перечислительные комбинаторные задачи, связанные с полимино. Представляет интерес подсчет числа полимино определенных классов, а также подсчет числа разбиений конечных фигур или плоскости на полимино определенного типа. В частности, разбиение называется решетчатым, если любую фигуру разбиения можно перевести в любую другую фигуру параллельным переносом, переводящим все разбиение в себя. Ранее нами было доказано, что если T(n) – число решетчатых разбиений плоскости на полимино площади n, то справедливы неравенства 2 n−3 + 2[ n−3 2 ] ≤ T(n) ≤ C(n + 1)3 (2, 7)n+1 . В настоящей работе мы получаем аналогичную оценку для числа решетчатых разбиений, дополнительно обладающих центральной симметрией. Пусть Tс(n) – число решетчатых разбиений плоскости на центрально–симметричные полимино площади n, решетка периодов которых является подрешеткой решетки Z 2 . В работе доказано, что C1( √ 2)n ≤ Tс(n) ≤ C2n 2 ( √ 2.68)n . При доказательстве нижней оценки исполь- зована явная конструкция, позволяющая построить требуемое число решетчатых разбиений плоскости. Доказательство верхней оценки основано на критерии существования решетчатого разбиения плоскости на полимино, а также на теории самонепересекающихся блужданий на квадратной решетке