Polyhedral characteristics of balanced and unbalanced bipartite subgraph problems

We study the polyhedral properties of three problems of constructing an optimal complete bipartite subgraph (a biclique) in a bipartite graph. In the first problem we consider a balanced biclique with the same number of vertices in both parts and arbitrary edge weights. In the other two problems we are dealing with unbalanced subgraphs of maximum and minimum weight with nonnegative edges. All three problems are established to be NP-hard. We study the polytopes and the cone decompositions of these problems and their 1-skeletons. We describe the adjacency criterion in 1-skeleton of the polytope of the balanced complete bipartite subgraph problem. The clique number of 1-skeleton is estimated from below by a superpolynomial function. For both unbalanced biclique problems we establish the superpolynomial lower bounds on the clique numbers of the graphs of nonnegative cone decompositions. These values characterize the time complexity in a broad class of algorithms based on linear comparisons

On vertex adjacencies in the polytope of pyramidal tours with step-backs

We consider the traveling salesperson problem in a directed graph. The pyramidal tours with step-backs are a special class of Hamiltonian cycles for which the traveling salesperson problem is solved by dynamic programming in polynomial time. The polytope of pyramidal tours with step-backs $PSB (n)$ is defined as the convex hull of the characteristic vectors of all possible pyramidal tours with step-backs in a complete directed graph. The skeleton of $PSB (n)$ is the graph whose vertex set is the vertex set of $PSB (n)$ and the edge set is the set of geometric edges or one-dimensional faces of $PSB (n)$. The main result of the paper is a necessary and sufficient condition for vertex adjacencies in the skeleton of the polytope $PSB (n)$ that can be verified in polynomial time.Comment: in Englis

Полиэдральные характеристики задач о сбалансированном и несбалансированном двудольных подграфах

We study the polyhedral properties of three problems of constructing an optimal biclique in a bipartite graph. In the first problem we consider a balanced biclique with the same number of vertices in both parts and arbitrary edge weights. In the other two problems it is required to find maximum or minimum unbalanced bicliques with a fixed number of vertices and non-negative edges. All three problems are established to be NP-hard. We study the polytopes and the cone decompositions of these problems and their 1-skeletons. We describe the adjacency criterion in the 1-skeleton of the balanced biclique polytope. Clique number of 1-skeleton is estimated from below by a superpolynomial function. For both unbalanced biclique problems we establish the superpolynomial lower bounds on the clique numbers of the graphs of non-negative cone decompositions. These values characterize the time complexity in a broad class of algorithms based on linear comparisons.Исследуются полиэдральные характеристики трех задач о построении оптимальных полных двудольных подграфов двудольных графов. В первой задаче рассматриваются сбалансированные подграфы с одинаковым числом вершин в каждой доле и произвольными весами ребер. В двух других задачах речь идет о несбалансированных подграфах максимального и минимального веса с неотрицательными ребрами. Устанавливается, что все три задачи являются NP-трудными. В работе изучаются многогранники и конусные разбиения рассматриваемых задач, а также их графы. Для задачи о сбалансированном подграфе приводится условие смежности вершин в полиэдральном графе и графе соответствующего конусного разбиения. Плотность полиэдрального графа оценивается снизу сверхполиномиальной функцией. Для задач о несбалансированных подграфах строятся сверхполиномиальные нижние оценки плотности графов неотрицательных конусных разбиений. Полученные результаты характеризуют временную трудоемкость задач в широком классе алгоритмов, использующих линейные сравнения

Алгоритм ветвей и границ для задачи коммивояжера не является алгоритмом прямого типа

In this paper, we consider the notion of a direct type algorithm introduced by V. A. Bondarenko in 1983. A direct type algorithm is a linear decision tree with some special properties. the concept of a direct type algorithm is determined using the graph of solutions of a combinatorial optimization problem. e vertices of this graph are all feasible solutions of a problem. Two solutions are called adjacent if there are input data for which these and only these solutions are optimal. A key feature of direct type algorithms is that their complexity is bounded from below by the clique number of the solutions graph. In 2015-2018, there were five papers published, the main results of which are estimates of the clique numbers of polyhedron graphs associated with various combinatorial optimization problems. the main motivation in these works is the thesis that the class of direct type algorithms is wide and includes many classical combinatorial algorithms, including the branch and bound algorithm for the traveling salesman problem, proposed by J. D. C. Little, K. G. Murty, D. W. Sweeney, C. Karel in 1963. We show that this algorithm is not a direct type algorithm. Earlier, in 2014, the author of this paper showed that the Hungarian algorithm for the assignment problem is not a direct type algorithm. us, the class of direct type algorithms is not so wide as previously assumed.В настоящей работе рассматривается понятие линейного разделяющего алгоритма прямого типа, введенное В. А. Бондаренко в 1983 г. Понятие алгоритма прямого типа определяется с помощью графа решений задачи комбинаторной оптимизации. Вершинами этого графа служат все допустимые решения задачи. Два решения называются смежными, если существуют входные данные, для которых эти решения и только они являются оптимальными. Ключевой особенностью алгоритмов прямого типа является то, что их трудоемкость оценивается снизу кликовым числом графа решений. В 2015–2018 гг. было опубликовано пять работ, основными результатами которых являются оценки кликовых чисел графов многогранников, ассоциированных с различными задачами комбинаторной оптимизации. В качестве основной мотивации в этих работах приводится тезис о том, что класс алгоритмов прямого типа является широким и включает в себя многие классические комбинаторные алгоритмы, в том числе алгоритм ветвей и границ для задачи коммивояжера, предложенный J. D. C. Little, K. G. Murty, D. W. Sweeney, C. Karel в 1963 г. Мы покажем, что этот алгоритм не является алгоритмом прямого типа. Ранее, в 2014 г., автором настоящей работы было показано, что венгерский алгоритм для задачи о назначениях не является алгоритмом прямого типа. Таким образом, класс алгоритмов прямого типа не является настолько широким, как предполагалось ранее