Optimization of fuzzy functions, functional and control

Orientador: Rodney Carlos BassaneziTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Nesta tese estudamos otimização de funções reais com parâmetros fuzzy, problemas variacionais com condições de contorno fuzzy e controle ótimo com condição de contorno fuzzy. Utilizando a otimização ordinal, estudamos a minimização de funções reais com parâmetros fuzzy. Verificamos que, sob algumas hipóteses, é possível estabelecer uma aplicação que associa cada valor de parâmetro ao minimizador da função e assim, mostramos que a extensão de Zadeh desta aplicação, de fato é um minimizador, segundo a noção de menor elemento relativa à relação de ordem parcial estabelecida. Posteriomente, aplicamos um raciocínio análogo para o problema de cálculo variacional fuzzy, estabelecendo uma aplicação que associa cada condição inicial real à função minimizadora (solução) do problema e assim, aplicando a extensão de Zadeh a esta aplicação, verificamos que a função fuzzy obtida é minimizadora (no sentido de menor elemento) do problema variacional com condição de contorno fuzzy. Ainda seguindo a mesma linha, definimos uma aplicação que relaciona o valor da condição inicial à função de estado ótimo e uma outra aplicação que associa cada condição inicial ao controle ótimo do problema, e assim, aplicando a extensão de Zadeh a estas aplicações, obtemos a solução do problema de controle ótimo com condição inicial fuzzy. Por fim, apresentamos uma solução aproximada para o problema de controle ótimo cujas variáveis de estado, controle e tempo são definidas por números fuzzy. Para isso, construimos uma malha fuzzy e aplicamos o algoritmo de programação dinâmica para definirmos as regras. Como resultado obtemos um Sistema Baseado em Regras Fuzzy (SBRF) que a cada estado e instante estabelecidos, atribui a melhor decisão (controle) a ser aplicadaAbstract: In this thesis, we study optimization of real functions with fuzzy parameters, variational problems with fuzzy boundary value and optimal control with fuzzy initial value. Using ordinal optimization, we study the minimization of real functions with fuzzy parameters. We verify that, under some hypothesis, it is possible to establish a mapping that associates each value of parameter to the minimizer of the function, and thus, we show that the Zadeh¿s extension of this mapping, in fact, is a minimizer according to the notion of smallest element on the established partial order relation. Posteriorly, we apply a similar reasoning for fuzzy variational calculus problem, setting a mapping that associates each real initial value to each optimal function (solution) and thus, applying Zadeh¿s extension to this map, we prove that the obtained fuzzy function is the solution (in the sense of smallest element) of the variational problem with fuzzy initial value. Still following the same reasoning, we define a mapping that associates each initial value to the state solution of the optimal control problem, and a other mapping, that associates each initial value to the control solution of the optimal control problem and thus, applying the Zadeh¿s extension to these mappings, we obtain the solution of the optimal control problem with fuzzy initial value. Finally, we show a technique to find an approximate solution for the control problem whose states, controls and time variables are given by fuzzy numbers. For this, we build a fuzzy grid and apply dynamic programming algorithm to find the rules. As a result, we obtained a fuzzy rule-based system whose inputs are the states and the time and the output is the best control (decision) to be appliedDoutoradoMatematica AplicadaDoutor em Matemática Aplicada160747/2013-9CNP

On fuzzy variational calculus and fuzzy optimal control with applications

Orientador: Rodney Carlos BassaneziTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: A busca de soluções ideais para controles tem sido muito frequente em aplicações ligadas à Biomatemática, como por exemplo o controle de pragas e epidemias. Com o intuito de tratar questões teóricas e no campo das aplicações, esta tese aborda a questão da subjetividade, desenvolvendo teoria de cálculo variacional e controle ótimo com condição inicial fuzzy e condição final livre e propõe soluções numéricas para o problema de controle ótimo de pragas na lavoura, abordando tanto o caso onde não temos essa subjetividade, quanto no caso em que temos. Através de uma relação de ordem parcial, e seguindo a mesma linha do que foi feito em (Diniz (2016)), definimos uma aplicação que associa cada condição inicial a solução do problema clássico e, feita as devidas considerações mostramos que a extensão de Zadeh dessa aplicação é a solução ótima, tanto para o problema de cálculo variacional, quanto para o problema de controle ótimo com condição inicial fuzzy e condição final livre. Para o problema de controle ótimo de pragas na lavoura da soja, modelamos o problema, considerando o uso de controle químico (inseticidas), biológico (inserção de inimigos naturais) e integrado (junção de ambos controles). Consideramos o caso onde a aplicação do controle é contínua no tempo, para isso usamos as condições de otimalidade (Princípio do Mínimo de Pontryagin) e propomos uma solução numérica para cada caso. Abordamos também, problemas de controle de pragas na lavoura quando não se tem informações precisas de seu estágio inicial. O modelo matemático utilizado contou com o auxílio da teoria fuzzy para suprir a exatidão das condições iniciais e da meta a ser atingida. Por fim, estudamos o problema de controle ótimo impulsivo de pragas considerando a aplicação do controle discreto, com uma dinâmica contínua entre os intervalos de aplicação. Utilizamos uma heurística computacional (Algoritmos genéticos) para resolver esse tipo de problemaAbstract: The search for optimal solutions for controls has been frequent in applications related to Biomathematics, such as pest and epidemic control. In order to address theoretical questions and applications, this thesis deals with the subjectivity issue, developing variational calculation theory and optimal control with fuzzy initial condition and free final condition, and proposes numerical solutions to the problem of optimal pest control in the field. both the case where we do not have this subjectivity, as in the case in which we have. Through a partial order relation, and following the same line as in (Diniz (2016)), we define an application that associates each initial condition with the solution of the classical problem and, with due consideration, we show that Zadeh¿s extension of this application is the optimal solution, both for the variational calculation problem, and for the optimal control problem with fuzzy initial condition and free final condition. For the problem of optimal pest control in soybeans, we model the problem, considering the use of chemical (insecticides), biological (insertion of natural enemies) and integrated (junction of both controls) control. We consider the case where the application of the control is continuous in time, for this we use the optimality conditions (Pontryagin¿s minimum principle) and propose a numerical solution for each case. We also address pest control problems when no accurate information of its initial stage is provided. The mathematical model made use of the fuzzy theory to supply the accuracy of the initial conditions and the target to be reached. Finally, we studied the problem of optimal control of pest infestation considering application of discrete control, with a continuous dynamics between the application intervals. We use a computational heuristic (Genetic Algorithms) to solve this type of problemDoutoradoMatematica AplicadaDoutor em Matemática Aplicada164525/2015-7CAPESCNP