Block-adaptive Cross Approximation of Discrete Integral Operators

In this article we extend the adaptive cross approximation (ACA) method known for the efficient approximation of discretisations of integral operators to a block-adaptive version. While ACA is usually employed to assemble hierarchical matrix approximations having the same prescribed accuracy on all blocks of the partition, for the solution of linear systems it may be more efficient to adapt the accuracy of each block to the actual error of the solution as some blocks may be more important for the solution error than others. To this end, error estimation techniques known from adaptive mesh refinement are applied to automatically improve the block-wise matrix approximation. This allows to interlace the assembling of the coefficient matrix with the iterative solution

Nearly optimal fast preconditioning of symmetric positive definite matrices

We consider the hierarchical off-diagonal low-rank preconditioning of symmetric positive definite matrices arising from second order elliptic boundary value problems. When the scale of such problems becomes large combined with possibly complex geometry or unstable of boundary conditions, the representing matrix is large and typically ill-conditioned. Multilevel methods such as the hierarchical matrix approximation are often a necessity to obtain an efficient solution. We propose a novel hierarchical preconditioner that attempts to minimize the condition number of the preconditioned system. The method is based on approximating the low-rank off-diagonal blocks in a norm adapted to the hierarchical structure. Our analysis shows that the new preconditioner effectively maps both small and large eigenvalues of the system approximately to $1$. Finally through numerical experiments, we illustrate the effectiveness of the new designed scheme which outperforms more classical techniques based on regular SVD to approximate the off-diagonal blocks and SVD with filtering.Nous étudions un préconditionnement “data sparse” (HODLR) pour matrices symétriques définies positives provenant de problèmes aux limites elliptiques du second ordre. Pour des problèmes de grandes tailles, des conditions aux limites quasi-singulières ou desgéomètries complexes, les matrices de discrétisation associées sont très mal conditionnées. Le recours à des méthodes multi-niveaux sont souvent une nécessité pour obtenir une solution efficace. Nous proposons un nouveau préconditionneur hiérarchique qui, dans le cas deux niveaux, est mimise le conditionnement du système préconditionné. Dans le cas multi-niveau le preconditionneur tente de conserver cette propriété qui n’est plus prouvée; en revanche nous établisson que les valeurs propres extrémales sont clusterisées dans un intervalle autour de 1. Finalement, travers des expérimentations numériques, nous illustrons l’efficacité du nouveau schéma propos qui surpasse les techniques plus classiques basées sur une SVD régulière pour approximer lesblocs hors-diagonaux ou une SVD filtrée

Spektraläquivalente Vorkonditionierung lokaler Operatoren mittels H-Matrizen und das Landau-Lifschitz-Modell als Anwendung

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der optimalen Vorkonditionierung von Gleichungssystemen resultierend aus der finite Elemente Diskretisierung von elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Anschließend wird ein numerisches Verfahren zur Berechnung von Energieminima und minimalen Energiebarrieren des Landau-Lischitz-Modells präsentiert