A study about solving non-linear systems : theoretical perspectives and applications

Orientador: José Mario Martínez PérezTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: O objetivo deste trabalho é estudar e analisar diferentes abordagens para resolver sistemas não lineares. Em primeiro lugar, uma versão esparsa do método de Newton é aplicada para encontrar uma solução do problema de complementaridade horizontal não linear (HNCP) associado a uma solução viável do problema de programação matemática com restrições de complementaridade (MPCC). O algoritmo combina direções do tipo Newton e Gradientes Projetados com um procedimento de busca linear que garante convergência global a um ponto estacionário da função de mérito associada a este problema. Convergência local quadrática é estabelecida sob hipóteses razoáveis. Experiência numérica em problemas teste de uma coleção bem conhecida ilustra a eficiência do algoritmo para encontrar soluções viáveis de MPCC na prática. Em seguida, uma estratégia quase-Newton para acelerar a convergência de iterações de ponto fixo é analisada. Para isso, atualizações secantes clássicas são consideradas. Experimentos numéricos em um conjunto treino são desenvolvidos, a fim de validar esta estratégia. Posteriormente, a estratégia quase-Newton é aplicada ao problema prático de representar o comportamento cinético de um marcador PET (Tomografia por Emissão de Pósitrons) durante a perfusão cardí­aca. O desempenho do método quando aplicado a problemas com dados reais é ilustrado numericamente. Finalmente, um método hí­brido que combina direções de Newton e Homotopia é introduzido para resolver problemas onde o método de Newton apresenta dificuldades. Experimentos iniciais constituem uma base para validação da técnica apresentadaAbstract: The aim of this work is to study and analyse different approaches for solving nonlinear systems. First of all, a sparse version of Newton's method is applied for finding a solution of a horizontal nonlinear complementarity problem (HNCP) associated to a feasible solution of a mathematical programming problem with complementarity constraints (MPCC). The algorithm combines Newton-like and Projected-Gradient directions with a line-search procedure that guarantees global convergence to a stationary point of the merit function associated to this problem. Local quadratic convergence is stated under reasonable hypothesis. Numerical experience on test problems from a well-known collection illustrates the efficiency of the algorithm to find feasible solutions of MPCC in practice. Next, a quasi-Newton strategy for accelerating the convergence of fixed-point iterations is analysed. For that, classical secant updates are considered. Numerical experiments on a training set are developed in order to validate this strategy. After that, the quasi-Newton strategy is applied on the practical problem of represent the kinetic behavior of a PET (Positron Emission Tomography) tracer during cardiac perfusion. The performance of the method when applied to real data problems is illustrated numerically. Finally, a hybrid method combining Newton and Homotopy directions is introduced for solving problems where Newton's method presented difficulties. Initial experiments provide a basis for the presented technic validationDoutoradoMatematica AplicadaDoutora em Matemática Aplicada2012/10444-0FAPESPCAPE

On the natural merit function for solving complementarity problems

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)Complementarity problems may be formulated as nonlinear systems of equations with non-negativity constraints. The natural merit function is the sum of squares of the components of the system. Sufficient conditions are established which guarantee that stationary points are solutions of the complementarity problem. Algorithmic consequences are discussed.1301211223Portuguese Science and Technology Foundation [POCI/MAT/56704/2004]Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)Portuguese Science and Technology Foundation [POCI/MAT/56704/2004