Geometrically uniform subspace codes and a proposal to construct quantum networks

Orientador: Reginaldo Palazzo JuniorTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de ComputaçãoResumo: Códigos de subespaço se mostram muito úteis contra a propagação de erros em uma rede linear multicast. Em particular, a família dos códigos de órbita apresenta uma estrutura algébrica bem definida o que, possivelmente, resultará na construção de bons algoritmos de decodificação e uma forma sistemática para o cálculo dos parâmetros do código. Neste trabalho, apresentamos um estudo dos códigos de órbita vistos como códigos geometricamente uniformes. A caracterização destas duas classes segue direto da definição de códigos de órbita e, dado um particionamento geometricamente uniforme destes códigos a partir de subgrupos normais do grupo gerador, propomos uma redução sobre o número de cálculos necessários para a obtenção das distâncias mínimas de um código de órbita abeliano e de um código L-nível, além de um algoritmo de decodificação baseado nas regiões de Voronoi. No último capítulo deste trabalho, propomos uma ideia de como projetar, do ponto de vista teórico, uma possível rede capaz de transmitir e operar informações quânticas. Tais informações são representadas por estados quânticos emaranhados, onde cada ket destes estados está associado a um subespaço vetorialAbstract: Subspace codes have been very useful to solve the error propagation in a multicast linear network. In particular, the orbit codes family presents a well-defined algebraic structure, which it will probably provide constructions of good decoding algorithms and a systematic way to compute the parameters of the code. In this work, we present a study of orbit codes seen as geometrically uniform codes. The characterization of both classes is direct from the definition of orbit codes and, given a uniform geometrically partition of these orbit codes from their normal subgroups of the generator group, we propose a reduction of the computation necessary for obtaining the minimum distances of an abelian orbit code and an L-level code, in addition to a decoding algorithm based on Voronoi regions. In the last chapter, we propose a hypothetical quantum network coding for the transmission of quantum information. This network consists of maximum entangled pure quantum states such that each ket of these states is associated with a vector subspaceDoutoradoTelecomunicações e TelemáticaDoutor em Engenharia Elétrica142094/2013-7CAPESCNP

On the Bounds of Certain Maximal Linear Codes in a Projective Space

The set of all subspaces of F-q(n) is denoted by P-q(n). The subspace distance d(S)(X, Y) = dim (X) + dim (Y) - 2 dim (X boolean AND Y) defined on P-q(n) turns it into a natural coding space for error correction in random network coding. A subset of P-q(n) is called a code and the subspaces that belong to the code are called codewords. Motivated by classical coding theory, a linear coding structure can be imposed on a subset of P-q(n). Braun, Etzion and Vardy conjectured that the largest cardinality of a linear code, that contains F-q(n), is 2(n). In this paper, we prove this conjecture and characterize the maximal linear codes that contain F-q(n)

On the Bounds of Certain Maximal Linear Codes in a Projective Space

The set of all subspaces of F-q(n) is denoted by P-q(n). The subspace distance d(S)(X, Y) = dim(X) + dim(Y)-2dim(X boolean AND Y) defined on P-q(n) turns it into a natural coding space for error correction in random network coding. A subset of P-q(n) is called a code and the subspaces that belong to the code are called codewords. Motivated by classical coding theory, a linear coding structure can be imposed on a subset of P-q(n). Braun et al. conjectured that the largest cardinality of a linear code, that contains F-q(n), is 2(n). In this paper, we prove this conjecture and characterize the maximal linear codes that contain F-q(n)