Impedance Transmission Conditions for the Electric Potential across a Highly Conductive Casing

Borehole resistivity measurements are a common procedure when trying to obtaina better characterization of the Earth's subsurface. The use of a casing surrounding the boreholehighly complicates the numerical simulations due to a large contrast between the conductivities ofthe casing and the rock formations. In this work, we consider the casing to be a thin layer of uniformthickness and motivated by realistic scenarios, we assume that the conductivity of such casing isproportional to the thickness of the casing to the power of -3. We derive Impedance TransmissionConditions (ITCs) for the static (zero frequency) electric potential for a 2D configuration. Then,we analyse these models by proving stability and convergence results. Next, we asses the numericalperformance of these models by employing a Finite Element Method. Finally we present presentasymptotic models for similar configurations including the time-harmonic configuration and a 3Daxisymmetric scenario.Les mesures de résistivité en forage sont communément utilisées pour obtenirune meilleure caractérisation du sous-sol de la Terre. Pour obtenir de telles mesures, on utilisetypiquement un tube métallique qui protège le forage, mais cela complique énormément la sim-ulation numérique à cause du fort contraste entre les conductivités du tube et des formationsrocheuses. Dans ce travail , motivé par des configurations réalistes, on considère que la con-ductivité du tube est proportionnelle à l'épaisseur du tube à la puissance -3. On développe desconditions de transmission d'impédance (ITCs en Anglais) pour le potentiel électrique dans lecas statique, dans un domaine bidimensionnel. On présente la construction des modèles asymp-totiques, validés par des résultats de convergence. On illustre les résultats théoriques avec dessimulations numériques obtenues en utilisant une discrétisation par éléments finis. On présenteaussi des modèles asymptotiques pour d'autres problèmes et configurations, à fréquence non-nulleet en 3D