Асимптотическое приближение решения уравнения реакция-диффузия-адвекция с нелинейным адвективным слагаемым

We consider a solution in a moving front form of the initial-boundary value problem for a singularly perturbed reaction-diffusion equation in a band with periodic conditions in one of the variables. Interest in solutions of the front type is associated with combustion problems or nonlinear acoustic waves. In the domain of the function which describes the moving front there is a subdomain where the function has a large gradient. This subdomain is called the internal transition layer. Boundary value problems with internal transition layers have a natural small parameter that is equal to the ratio of the transition layer width to the width of the region under consideration. The presence of a small parameter at the highest spatial derivative makes the problem singularly perturbed. The numerical solution of such problems meets certain difficulties connected with the choice of grids and initial conditions. To solve these problems the use of analytical methods is especially successful. Asymptotic analysis which uses Vasilieva’s algorithm was carried out in the paper. That made it possible to obtain an asymptotic approximation of the solution, which can be used as an initial condition for a numerical algorithm. We also determined the conditions for the existence of a front type solution. In addition, the analytical methods used in the paper make it possible to obtain in an explicit form the front motion equation approximation. This information can be used to develop mathematical models or numerical algorithms for solving boundary value problems for the reaction-diffusion-advection type equations. В работе рассматривается решение вида движущегося фронта начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения реакция-диффузия-адвекция в полосе с периодическими условиями по одной из переменных. Особенностями настоящей работы является постановка задачи в двумерной области и наличие большого адвективного слагаемого в исходном уравнении. Интерес к решениям вида фронта связан с задачами горения или нелинейных акустических волн. В области определения функции, описывающей движущийся фронт, содержится подобласть, в которой функция обладает большим градиентом. Эта подобласть называется внутренним переходным слоем. Задачи с внутренними переходными слоями содержат естественный малый параметр, равный отношению ширины переходного слоя к ширине рассматриваемой области. Наличие малого параметра при старшей производной по пространственным координатам делает задачу сингулярно возмущенной. Численное решение таких задач встречает определенные сложности, связанные с выбором сеток и начальных условий. Для решения этих проблем наиболее успешным является использование аналитических методов. Асимптотический анализ с использованием алгоритма Васильевой, проведенный в настоящей работе, позволяет определить условия существования решения вида фронта, а также получить асимптотическое приближение решения, которое можно выбрать в качестве начального условия для численного алгоритма. Кроме того, аналитические методы, использованные в работе, позволяют выписать уравнение для кривой, в области которой локализован фронт. Эти сведения могут быть полезными для разработки математических моделей или численных алгоритмов для решения задач вида реакция-диффузияадвекция

Решение вида движущегося фронта двумерной задачи реакция-диффузия

In  this  paper,  we study  the  moving  front solution  of the  reaction-diffusion  initialboundary value problem  with a small diffusion coefficient. Problems  in such statements can be used to model physical processes associated  with the propagation of autowave  fronts, in particular, in biophysics or in combustion. The moving front solution is a function  the distinctive feature of which is the presence in the domain  of its definition  of a subdomain where the function  has a large gradient. This subdomain is called an internal  transition layer.  In the nonstationary case, the position of the transition layer varies with  time  which, as it is well known,  complicates  the  numerical  solution  of the  problem  as well as the justification of the correctness  of numerical calculations. In this case the analytical method is an essential component  of the  study.   In the  paper,  asymptotic methods  are applied  for analytical investigation of the  solution  of the  problem  posed.   In particular, an  asymptotic approximation of the  solution  as an expansion  in powers of a small parameter is constructed by the  use of the  Vasil’eva algorithm and  the existence  theorem  is carried  out using the asymptotic method  of differential  inequalities.  The methods used also make it possible to obtain  an equation  describing  the motion  of the front.  For this purpose  a transition to local coordinates  takes  place in the  region of the  front localization.   In the  present paper, in comparison  with earlier publications dealing with two-dimensional problems  with internal  transition layers the  transition to local coordinates  in the  vicinity  of the  front has been modified, that led to the simplification  of the algorithm of determining the equation  of the curve motion.В настоящей  работе проведено исследование решения вида движущегося фронта  начально-краевой задачи  реакция-диффузия с малым  коэффициентом диффузии.  Задачи  в таких  постановках  можно  использовать для  моделирования физических процессов, связанных  с распространением автоволновых фронтов,  в частности  в биофизике  или  при  описании  процессов горения.  Решение  вида  фронта  – это функция, которая  характеризуется тем,  что  в области её определения  существует  подобласть,  в которой  функция обладает  большим  градиентом. Эта подобласть  называется внутренним  переходным  слоем. В нестационарном случае положение  переходного слоя изменяется со временем, что, как  известно, затрудняет численное решение задачи,  а также обоснование корректности численных расчетов.  В таком  случае необходимым компонентом исследования  является аналитический подход. В настоящей работе для аналитического исследования решения поставленной  задачи  применены асимптотические методы. В частности,  при помощи алгоритма Васильевой  построено  асимптотическое приближение  решения  в виде разложения  по степеням  малого параметра, а доказательство существования решения вида движущегося фронта проведено  при помощи асимптотического метода  дифференциальных неравенств.  Используемые методы  также позволяют  получить  уравнение,  описывающее  движение  фронта. С этой целью  в области переходного слоя осуществляется переход к локальным координатам. В настоящей  работе по сравнению  с известными  ранее  публикациями, касающимися двумерных  задач  с внутренними переходными  слоями,  метод  перехода  к  локальным координатам в окрестности  фронта  был модифицирован, что привело к упрощению алгоритма определения  уравнения  движения кривой