Abelian groups ℵ0-categorical over a subgroup

AbstractAn abelian group A is said to be ℵ0-categorical over its subgroup B when there is a unique countable model of the theory of A with distinguished subgroup B for any possible choice of countable dinstinguish subgroup. We give necessary and sufficient conditions for an abelian group to be ℵ0-categorical over one of its subgroups. Furthermore we give an axiomatization of such theories in terms of some first-order invariants and show that these invariants can have any value as long as they satisfy some minor conditions. With these results we obtain a new proof of Hodges' decomposition theorem (Corollary 2.6). Finally, in the case of torsion-free abelian groups we conclude that A is ℵ0-categorical over its subgroup BIT iff B=mA for some integer m

Synthesizing Nested Relational Queries from Implicit Specifications

Derived datasets can be defined implicitly or explicitly. An implicit definition (of dataset $O$ in terms of datasets $\vec{I}$) is a logical specification involving the source data $\vec{I}$ and the interface data $O$. It is a valid definition of $O$ in terms of $\vec{I}$, if any two models of the specification agreeing on $\vec{I}$ agree on $O$. In contrast, an explicit definition is a query that produces $O$ from $\vec{I}$. Variants of Beth's theorem state that one can convert implicit definitions to explicit ones. Further, this conversion can be done effectively given a proof witnessing implicit definability in a suitable proof system. We prove the analogous effective implicit-to-explicit result for nested relations: implicit definitions, given in the natural logic for nested relations, can be effectively converted to explicit definitions in the nested relational calculus NRC. As a consequence, we can effectively extract rewritings of NRC queries in terms of NRC views, given a proof witnessing that the query is determined by the views

Counterexamples to three conjectures about categoricity

Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des VerfassersZsfassung in engl. SpracheDie vorliegende Arbeit ist eine Ausarbeitung des Papers "Counterexamples to a conjecture on relative categoricity" von Evans und Hewitt, wobei das Ziel war, die dort zum Teil nur angedeuteten Ideen genau auszuführen. Das Paper von Evans und Hewitt wurde als Anhang zu "Omega-categoricity, relative categoricity and coordinatisation- von Hodges, Hodkinson und Macpherson verfasst. Deshalb lag ein weiterer Schwerpunkt darauf, den theoretischen Rahmen, der dort eingeführt wird, wiederzugeben. Wir definieren zunächst, wann eine Theorie koordinatisiert, koordinatisierbar, beziehungsweise relativ kategorisch über ein Prädikat P ist. Es stellt sich schnell heraus, dass eine koordinatisierbare Theorie stets relativ kategorisch ist und jedes ihrer Modelle natürlich über P ist. Damit meinen wir, dass die Automorphismengruppe von P in natürlicher Weise in die Automorphismengruppe der ganzen Struktur eingebettet werden kann. Wir stellen die Vermutung auf, dass auch die umgekehrte Richtung gilt. Im zweiten Teil der Arbeit konstruieren wir ein Gegenbeispiel zu dieser Vermutung. Hierzu ist es sinnvoll Automorphismengruppen als topologische Gruppen zu behandeln. Wir konstruieren zunächst eine proendliche Gruppe G mit einem endlichen Normalteiler F, sodass F ein Komplement in G hat und jedes solche Komplement dicht ist. Diese pathologische proendliche Gruppe stellt dann die Automorphismengruppe unseres Gegenbeispiels dar. Durch einige zusätzliche Überlegungen können wir mit Hilfe von G sogar ein omega-kategorisches Gegenbeispiel zu der Vermutung konstruieren. Als interessantes Nebenergebnis erhalten wir zwei omega-kategorische Strukturen, deren Automorphismengruppen zwar isomorph sind, aber nicht topologisch isomorph.The aim of this master thesis is to refute a conjecture about relative categoricity, which was stated by Hodges, Hodkinson and Macpherson in their paper "Omega-categoricity, relative categoricity and coordinatisation". We first introduce relatively categorical, coordinatised and coordinatisable theories after the terminology of Hodges. We show some basic properties, including that every coordinatisable theory is relatively categorical and natural. This leads to the conjecture that also the opposite direction holds. In the second part of the master thesis we build a counterexample to this conjecture. Therefore we construct a profinite group G with a nontrivial finite normal subgroup F, which has a complement in G, but no closed complement. The canonical structure of this group is a strongly minimal structure, which is natural without being coordinatisable. Using the group G we are even able to construct an omega-categorical counterexample to the conjecture. As an interesting side result we get two omega-categorical structures whose automorphism groups are abstractly isomorphic, but not topologically isomorphic. All these results are based on the paper "Counterexamples to a conjecture on relative categoricity", written by Evans and Hewitt.8