A Novel Representation of the Exact Solution for Differential Algebraic Equations System Using Residual Power-Series Method

We implement a relatively new analytic iterative technique to get approximate solutions of differential algebraic equations system based on generalized Taylor series formula. The solution methodology is based on generating the residual power series expansion solution in the form of a rapidly convergent series with easily computable components. The residual power series method (RPSM) can be used as an alternative scheme to obtain analytical approximate solution of different types of differential algebraic equations system applied in mathematics. Simulations and test problems were analyzed to demonstrate the procedure and confirm the performance of the proposed method, as well as to show its potentiality, generality, viability, and simplicity. The results reveal that the proposed method is very effective, straightforward, and convenient for solving different forms of such systems

Solving fractional optimal control problems applied to engineering

The study of Optimal Control Problems (OCPs) is an area of great interest and importance in engineering and related areas due to applications that can be developed. In general, the OCP consists of determining the control variable profile that maximizes (or minimizes) an objective function subject to differential-algebraic constraints. Commonly, to solve this type of problem, two classes of approaches can be used, namely, the Direct and the Indirect, as well as it is considered that differential constraints present integer order. In practice, this simplifies the problem analysis, but fails to consider the effect of the fractional order on the obtained profiles. This thesis has as aim goal to solve Fractional Optimal Control Problems (FOCPs). For this purpose, the extension of Orthogonal Collocation Method (OCM) to fractional context to integrate the fractional differential algebraic models is proposed. In this scenario, the following results are presented: i) validation of the proposed simulation technique in mathematical and engineering problems; ii) application of the OCM in an inverse problem using real experimental data; iii) resolution of FOCPs by using the Indirect approach; iv) resolution of a FOCP with specified state variable; and v) resolution of FOCPs by using the Direct approach in mono and multi-objective contexts. For this last class, a new multi-objective optimization strategy is proposed. This consists of association between the Stochastic Fractal Search algorithm and two operators: Pareto’ dominance and crowding distance. The results obtained with the simulation by using the OCM indicate that the proposed numerical methodology configures as an interesting approach for solving fractional differential problems. For the proposed inverse problem, it is observed that the fractional order can be used to increase the quality of fit. From the resolution of FOCPs using Indirect and Direct approaches, it is possible to verify the influence of the fractional order on optimal profiles found. For the FOCP with specified state variable, it is possible to conclude that, depending on the fractional order value, is not possible to find an optimal solution. Finally, for the proposed multi-objective algorithm, it is possible to verify the quality of obtained results in relation to other traditional approach, as well as evaluate the influence of the fractional order on the obtained optimal profiles.CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível SuperiorTese (Doutorado)O estudo de Problemas de Controle Ótimo (PCOs) configura uma área de grande interesse e importância em engenharia e áreas afins devido ao número de aplicações que podem ser desenvolvidas. Em linhas gerais, o PCO consiste na determinação do perfil da variável de controle que maximiza (ou minimiza) uma função objetivo sujeito à restrições algébrico-diferenciais. Comumente, para resolver este tipo de problema pode-se empregrar duas classes de abordagens, a saber, a Direta e a Indireta, bem como considera-se que as restrições diferenciais apresentam ordem inteira. Na prática isto simplifica a análise do problema, mas deixa de considerar o efeito da ordem fracionária nos perfis obtidos. Diante do que foi apresentado, esta tese tem como principal objetivo resolver PCOs com restrições algébrico-diferenciais fracionárias (Problema de Controle Ótimo Fracionário - PCOF). Para essa finalidade propõem-se a extensão do Método da Colocação Ortogonal (MCO) para o contexto fracionário como ferramenta para integrar os modelos algébrico-diferenciais fracionários que constituem o PCO. Neste cenário são apresentados resultados considerando: i) a validação da técnica de simulação proposta em problemas matemáticos e de engenharia; ii) a aplicação do MCO no contexto fracionário em um problema inverso usando dados experimentais reais; iii) a resolução de PCOFs usando a abordagem Indireta; iv) a resolução de um PCOF com restrição de fim para a variável de estado; e v) a resolução de PCOFs usando a abordagem Direta no contexto mono e multi-objetivo. Para esta última classe de problemas é proposta uma nova estratégia de otimização multi-objetivo que consiste da associação entre o algoritmo de Busca Fractal Estocástica e os operadores para a avaliação do critério de dominância de Pareto e distância da multidão. Os resultados obtidos com a simulação usando o MCO indicam que a metodologia numérica proposta configura-se como uma abordagem interessante para a resolução de problemas diferenciais fracionários. Ao avaliar o problema inverso proposto observa-se que a ordem fracionária pode ser empregada para aumentar a qualidade do ajuste. A partir da resolução de PCOFs usando abordagens Indiretas e Diretas pode-se verificar a influência da ordem frcionária nos perfis ótimos encontrados. Para o PCOF com restrição de fim na variável de estado foi possível concluir que, a depender do valor da ordem fracionária, não é possível encontrar uma solução ótima. Finalmente, ao se avaliar o algoritmo multi-objetivo proposto é possível constatar a qualidade dos resultados obtidos em relação ao outra abordagem tradicional da literatura, bem como a influência da ordem fracionária nos perfis ótimos obtidos