Note on a Conjecture of Wegner

The optimal packings of n unit discs in the plane are known for those natural numbers n, which satisfy certain number theoretic conditions. Their geometric realizations are the extremal Groemer packings (or Wegner packings). But an extremal Groemer packing of n unit discs does not exist for all natural numbers n and in this case, the number n is called exceptional. We are interested in number theoretic characterizations of the exceptional numbers. A counterexample is given to a conjecture of Wegner concerning such a characterization. We further give a characterization of the exceptional numbers, whose shape is closely related to that of Wegner's conjecture.Comment: 5 pages; Contributions to Algebra and Geometry, Vol.52 No1 April 201

Pozitív definit függvények, extremális problémák és alkalmazásaik = Positive definite functions, extremal problems and applications

Eredményeink többsége nemzetközi folyóiratokban jelent meg/van elfogadva, konferencia-kiadványokkal együtt mintegy félszáz tudományos közleményt publikáltunk. Eredményeinkről kb. százhúsz nemzetközi konferencia- illetve szemináriumi előadást tartottunk. A munkatervben szereplő témák, feladatok túlnyomó többségében a tervezettnél tovább sikerült eljutni, ezen felül számos előre nem látott illetve tervezett kérdésben értünk el érdemleges kutatási eredményeket. A Turán-féle extremális problémában több becslést dolgoztunk ki, amelyek az alaphalmaz struktúrális tulajdonságait használják Az egyenletes aszimptotikus felső sűrűség fogalmának új értelmezését adtuk lokálisan kompakt Abel csoportokra, ennek révén egyes eredményeket ki tudtunk terjeszteni. A hiperbolikus térbeli gömbelhelyezések teljes családját magában foglaló sűrűségfogalmat adtunk, igazolva, hogy a sűrűségfogalom a periódikus esetkiterjesztése. Megoldottuk Molnár József egy negyven éves sejtését is. T. Tao 2004-ben megcáfolta Fuglede sejtését arról, hogy euklideszi térben a parkettázó halmazok spektrálisak és viszont. A Fuglede sejtés Tao által nyitva hagyott másik irányát is sikerült megcáfolni. Az egységkörön és a felső félsíkban szinguláris peremfüggvények mellett vizsgáltuk a Dirichlet problémát. Itt a Poisson operátor értelmezése, ortogonális rendszer minimális teljes ritkítása, (végtelen) interpolációs feladat megoldása és Lp-beli Abel szummációs eljárások révén értünk el eredményeket. | Most of our results were published/accepted in international journals: alltogether with conference proceedings publications we produced cca. half of a hundred publications. About these we delivered approximately 120 lectures at conferences and seminars all over the world. In most of the the tasks listed in our project plan we proceeded further than planned, and we achieved reserch results in numerous other problems, too. We obtained estimates in the Turán extremal problem using structural properties of the set. We extended the notion of uniform upper assymptotic density to locally compact Abelian groups, and thus extended results on the Turán extremal problem, too. Also the Landau- and the pointwise Turán extremal problem were explored. We defined density for sphere packing of hyperbolic space, showing that in the periodic case our notion becomes the expected density. A 40 years old conjecture of J. Molnár was also solved. T. Tao gave counterexample to the Fuglede spectral set conjecture in 2004. We disproved the other direction of the conjecture, left open by Tao, and obtained several further results, too. On the unit disk and also on the upper halfplane we copnsidered the Dirichlet problem with singular boundary functions. Here the minimal and complete subset of the weighted orthonormal system, construction of the Poisson operator, an infinite interpolation problem and Lp Abel summability were dealt with

Note on an inequality of Wegner

G. Wegner [12] gave a geometric characterization of all so–called Groemer packing of n ≥ 2 unit discs in E 2 that are densest packings of n unit discs with respect to the convex hull of the discs. In this paper we provide a number theoretic characterization of all n satisfying that such a “Wegner packing ” of n unit discs exists, and show that the proportion of these n is 23 24 among all natural numbers. Acknowledgement: We are grateful to J.C. Lagarias for helpful discussions, and to an unknown referee whose remarks considerably improved the paper