Discontinuity Detection by Null Rules for Adaptive Surface Reconstruction

We present a discontinuity detection method based on the so-called null rules, computed as a vector in the null space of certain collocation matrices. These rules are used as weights in a linear combination of function evaluations to indicate the local behavior of the function itself. By analyzing the asymptotic properties of the rules, we introduce two indicators (one for discontinuities of the function and one for discontinuities of its gradient) by locally computing just one rule. This leads to an efficient and reliable scheme, which allows us to effectively detect and classify points close to discontinuities. We then show how this information can be suitably combined with adaptive approximation methods based on hierarchical spline spaces in the reconstruction process of surfaces with discontinuities. The considered adaptive methods exploit the ability of the hierarchical spaces to be locally refined, and fault detection is a natural way to guide the refinement with low computational cost. A selection of test cases is presented to show the effectiveness of our approach

Aproximación RBF de funciones explícitas con discontinuidades.

Una técnica puntera de aproximación de datos dispersos es la utilización de funciones radiales de base (RBF), que consiste en una combinación lineal finita de funciones de base trasladadas. Las RBF básicamente son funciones radialmente simétricas.Una ventaja de las RBF es que son independientes de la dimensión. Las funciones b\'asicas toman la distancia euclídea como argumento, por lo que pueden extenderse trivialmente a dimensiones arbitrarias. Esto contrasta con los esquemas polinomiales a trozos, que generalmente se basan en el producto tensor de las dimensiones.Por lo general, las RBF se aplican a funciones o datos aproximados que solo se conocen en un número finito de puntos (o demasiado difíciles de evaluar de otra manera), de modo que las evaluaciones de la función aproximada pueden realizarse de manera eficiente en la mayoría de las ocasiones.El objetivo principal de esta memoria es profundizar en el estudio de la aproximación de funciones univariadas y multivariadas explícitas con discontinuidades por medio de las funciones radiales de base, obtener métodos y aplicar tales métodos a la representación de curvas y superficies no regulares. El trabajo se centra en la programación de los métodos obtenidos, la interpretación de los resultados, la obtención de los errores cometidos en variados ejemplos de aproximación y la comparación con algunos métodos existentes. En los trabajos publicados sobre el ajuste de superficies con fallas verticales u oblicuas se utilizan las RBF para conseguir aproximantes o interpolantes con las mismas fallas. En los trabajos referenciados en esta memoria al respecto, esas fallas o líneas de discontinuidad dividen el dominio de la superficie en dos o m\'as componentes conexas disjuntas; coloquialmente se dice que cortan el dominio. En consecuencia, se establece como un segundo objetivo implementar un método de aproximación que, a través de RBF, ajuste superficies con cualquier tipo de falla, es decir, que las líneas de discontinuidad sean curvas que no tienen por qué cortar el dominio de la superficie que se quiere aproximar.Otro objetivo fundamental de este trabajo es la detección de discontinuidades de salto tanto de la función univariada que se quiera aproximar como de su primera derivada. Este método de detección se plantea como una aplicación del método de aproximación y puede ser extendido a funciones multivariadas. Existen pocos trabajos de detección de discontinuidades que utilicen RBF, en los artículos revisados se detectan discontinuidades de salto de la función pero no de su primera derivada.<br /