Anisotropic function spaces, anisotropic fractals, and spectral theory for related fractal semi-elliptic operators

Die Theorie der anisotropen Funktionenräume entwickelte sich parallel zur Theorie von isotropen Funktionenräumen. Wir verweisen insbesondere auf Arbeiten von S.M. Nikol'skii¸ O.V. Besov. Die anisotropen Funktionenräume erscheinen dann, wenn man Di®erentialoperatoren untersucht, deren maximale Ableitungsordnungen verschieden von Richtung zu Richtung sind, z.B. der Operator der Wärmeleitungsgleichung. In der vorliegenden Arbeit werden Zusammenhänge zwischen fraktaler Geometrie und der Fourieranalysis, der Theorie der Funktionenräume sowie der Spektraltheorie einiger Differentialoperatoren untersucht. Die Arbeit hat fünf Teile. Im ersten Kapitel stellen wir Grundlagen für anisotrope Besov-Räume zusammen. Das zweite Kapitel widmet sich einigen wichtigen Eigenschaften der anisotropen Besov-Räume. Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit Zerlegungen (Atome, Wavelets) in anisotropen Funktionenräumen. Unser Hauptziel in diesem Kapitel ist, das anisotrope Gegenstück zu einem Resultat von H.Triebel(2003) zu beweisen. In Kapitel 4 geben wir die Definition der anisotropen d-Mengen; das sind z.B. anisotrope Cantor-Mengen. Wir studieren die Existenz und die Eigenschaften des Spur Operators tr¡, zwischen den Funktionenräumen, basierend auf Wavelet-Darstellungen aus Kapitel 3. Im letzten Kapitel betrachten wir den semi-elliptischen Differentialoperator. Diese Resultate werden abschließend mit ähnlichen, bereits bekannten (Farkas,2001) verglichen

Quantitative Hahn-Banach theorems and isometric extensions for wavelet and other banach spaces

We introduce and study Clarkson, Dol’nikov-Pichugov, Jacobi and mutual diameter constants reflecting the geometry of a Banach space and Clarkson, Jacobi and Pichugov classes of Banach spaces and their relations with James, self-Jung, Kottman and Sch¨affer constants in order to establish quantitative versions of Hahn-Banach separability theorem and to characterise the isometric extendability of H¨older-Lipschitz mappings. Abstract results are further applied to the spaces and pairs from the wide classes IG and IG+ and non-commutative Lp-spaces. The intimate relation between the subspaces and quotients of the IG-spaces on one side and various types of anisotropic Besov, Lizorkin-Triebel and Sobolev spaces of functions on open subsets of an Euclidean space defined in terms of differences, local polynomial approximations, wavelet decompositions and other means (as well as the duals and the lp-sums of all these spaces) on the other side, allows us to present the algorithm of extending the main results of the article to the latter spaces and pairs. Special attention is paid to the matter of sharpness. Our approach is quasi-Euclidean in its nature because it relies on the extrapolation of properties of Hilbert spaces and the study of 1-complemented subspaces of the spaces under consideration