12 research outputs found
Monotone crossing number of complete graphs
In 1958, Hill conjectured that the minimum number of crossings in a drawing of Kn is exactly Z(n) = 1/4 n-1/2/2 n−2/2 n−3/2. Generalizing the result by
Ábrego et al. for 2-page book drawings, we prove this conjecture for plane drawings in which edges are represented by x-monotone curves. In fact, our
proof shows that the conjecture remains true for xmonotone drawings in which adjacent edges do not cross and we count only pairs of edges which cross odd number of times. We also discuss a combinatorial characterization of these drawings.European Science Foundatio
Minor-monotone crossing number
The minor crossing number of a graph , , is defined as the minimum crossing number of all graphs that contain as a minor. We present some basic properties of this new minor-monotone graph invariant. We give estimates on mmcr for some important graph families using the topological structure of graphs satisfying \
On the pseudolinear crossing number
A drawing of a graph is {\em pseudolinear} if there is a pseudoline
arrangement such that each pseudoline contains exactly one edge of the drawing.
The {\em pseudolinear crossing number} of a graph is the minimum number of
pairwise crossings of edges in a pseudolinear drawing of . We establish
several facts on the pseudolinear crossing number, including its computational
complexity and its relationship to the usual crossing number and to the
rectilinear crossing number. This investigation was motivated by open questions
and issues raised by Marcus Schaefer in his comprehensive survey of the many
variants of the crossing number of a graph.Comment: 12 page
Non-Homotopic Drawings of Multigraphs
A multigraph drawn in the plane is non-homotopic if no two edges connecting
the same pair of vertices can be continuously deformed into each other without
passing through a vertex, and is -crossing if every pair of edges
(self-)intersects at most times. We prove that the number of edges in an
-vertex non-homotopic -crossing multigraph is at most ,
which is a big improvement over previous upper bounds.
We also study this problem in the setting of monotone drawings where every
edge is an x-monotone curve. We show that the number of edges, , in such a
drawing is at most and the number of crossings is
. For fixed these bounds
are both best possible up to a constant multiplicative factor.Comment: 19 page
An algorithm for estimating the crossing number of dense graphs, and continuous analogs of the crossing and rectilinear crossing numbers
We present a deterministic -time algorithm that approximates the
crossing number of any graph of order up to an additive error of
. We also provide a randomized polynomial-time algorithm that
constructs a drawing of with crossings. These results
are made interesting by the well known fact that every dense -vertex graph
has crossing number . Our work builds on a technique developed by
Fox, Pach and S\'uk, who obtained very similar results for the rectilinear
crossing number.
The results by the aforementioned authors and in this paper imply that the
(normalized) crossing and rectilinear crossing numbers are estimable
parameters. Motivated by this, we introduce two graphon parameters, the
crossing density and the rectilinear crossing density, and then we prove that,
in a precise sense, these are the correct continuous analogs of the crossing
and rectilinear crossing numbers of graphs.Comment: 23 pages, 4 figure
Computing crossing numbers
The graph theoretic problem of crossing numbers has been around for over 60 years, but still very little is known about this simple, yet intricate nonplanarity measure. The question is easy to state: Given a graph, draw it in the plane with the minimum number of edge crossings. A lot of research has been devoted to giving an answer to this question, not only by graph theoreticians, but also by computer scientists. The crossing number is central to areas like chip design and automatic graph drawing. While there are algorithms to solve the problem heuristically, we know that it is in general NP-complete. Furthermore, we do not know if the problem is efficiently approximable, except for some special cases. In this thesis, we tackle the problem using Mathematical Programming. We show how to formulate the crossing number problem as systems of linear inequalities, and discuss how to solve these formulations for reasonably sized graphs to provable optimality in acceptable time--despite its theoretical complexity class. We present non-standard branch-and-cut-and-price techniques to achieve this goal, and introduce an efficient preprocessing algorithm, also valid for other traditional non-planarity measures. We discuss extensions of these ideas to related crossing number variants arising in practice, and show a practical application of a formerly purely theoretic crossing number derivative. The thesis also contains an extensive experimental study of the formulations and algorithms presented herein, and an outlook on its applicability for graph theoretic questions regarding the crossing numbers of special graph classes.Das Kreuzungszahlproblem wird von Graphentheoretikern seit über 60 Jahren betrachtet, jedoch ist noch immer sehr wenig über dieses einfache und zugleich hochkomplizierte Ma der Nichtplanarität bekannt. Die Aufgabenstellung ist simpel: Gegeben ein Graph, zeichnen Sie ihn mit der kleinstmöglichen Anzahl an Kantenkreuzungen. Nicht nur Graphentheoretiker sondern auch Informatiker beschäftigten sich ausgiebig mit dieser Aufgabe, denn es handelt sich dabei um ein zentrales Konzept im Chipdesign und im automatischen Graphenzeichnen. Zwar existieren Algorithmen um das Problem heuristisch zu lösen, jedoch wissen wir, dass es im Allgemeinen NP-vollständig ist. Darüberhinaus ist auch unbekannt, ob sich das Problem, außer in Spezialfällen, effizient approximieren lässt. In dieser Dissertation, versuchen wir das Problem mit Hilfe der Mathematischen Programmierung zu lösen. Wir zeigen, wie man das Kreuzungszahlproblem als verschiedene Systeme von linearen Ungleichungen formulieren kann und diskutieren wie man diese Formulierungen für nicht allzu große Graphen beweisbar optimal und in akzeptabler Zeit lösen kann - unabhängig von seiner formalen Komplexitätsklasse. Wir stellen dazu benötigte maßgeschneiderte Branch-and-Cut-and-Price Techniken vor, und präsentieren einen effizienten Algorithmus zur Vorverarbeitung; dieser ist auch für andere traditionelle Ma e der Nichtplanarität geeignet. Wir diskutieren Erweiterungen unserer Ideen für verwandte Kreuzungszahlkonzepte die in der Praxis auftreten, und zeigen eine praktische Anwendung eines vormals rein theoretisch behandelten Kreuzungszahl-Derivats auf. Diese Arbeit enthält auch eine ausführliche experimentelle Studie der präsentierten Formulierungen und Algorithmen, sowie einen Ausblick über deren mögliche Nutzung für graphentheoretische Fragen bezüglich der Kreuzungszahlen von speziellen Graphenklassen
Upward planarization and layout
Die Visualisierung von gerichteten azyklischen Graphen (DAGs) gehört zu
den wichtigsten Aufgaben im automatischen Zeichnen von Graphen. Hierbei
suchen wir für einen gegebenen DAG G eine Zeichnung von G (Aufwärtszeichnung
von G genannt), sodass alle Kanten als Kurven streng monoton
in vertikaler Richtung steigend gezeichnet werden. Um die Lesbarkeit der
Zeichnung zu erhöhen, sollte neben der Aufwärtseigenschaft auch die Anzahl
der Kantenkreuzungen in der Zeichnung möglichst gering sein.
In dieser Dissertation entwerfen wir einen neuen Ansatz zur Visualisierung
von gerichteten Graphen, der auf der Idee der Aufwärtsplanarisierung basiert.
Wir stellen zuerst ein innovatives Aufwärtsplanarisierungverfahren vor, das
neue Techniken für die Berechnung aufwärtsplanare Untergraphen und die
anschließende Kanteneinfügephase einsetzt. Vor allem werden in dem neuen
Verfahren keine Schichtungstechniken zur Kreuzungsminimierung benutzt,
wie wir sie aus dem Zeichenverfahren von Sugiyama et al. [STT81] oder aus
dem Aufwärtsplanarisierungsverfahren von Eiglsperger et al. [EKE03] kennen.
Die Festlegung einer Schichtung kann nämlich zu sehr schlechten Ergebnissen
führen. Folglich besitzt das neue Verfahren nicht die Nachteile der bisherigen
Kreuzungsminimierungsverfahren.
Experimentellen Analysen zeigen, dass das neue Aufwärtsplanarisierungsverfahren
deutlich bessere Ergebnisse liefert als das klassische, auf Schichtungen
basierende Kreuzungsminimierungsverfahren, und dies unabhängig
von den benutzten Lösungsansätzen (heuristisch oder optimal) für die klevel
Kreuzungsminimierungsphase. Auch im Vergleich mit den bekannten
Aufwärtsplanarisierungsverfahren (Di Battista et al. [BPTT89] und Eiglsperger
et al. [EKE03]) zeigt sich, dass der neue Ansatz weitaus bessere Ergebnisse
liefert. Wir stellen auch zwei Erweiterungen des neuen Ansatzes vor:
eine Erweiterung zur Aufwärtsplanarisierung von gerichteten Hypergraphen
und eine zur Unterstützung von Port Constraints.
Das Ergebnis der Aufwärtsplanarisierung ist eine aufwärtsplanare Repräsentation (UPR) — ein eingebetteter DAG, in dem Kreuzungen durch
künstliche Dummy-Knoten modelliert werden. Wir stellen ein Layoutverfahren
zur Realisierung solcher UPRs vor, d.h., ein Verfahren, das aus einem
UPR eine Aufwärtszeichnung konstruiert, sodass die Kantenkreuzungen in
der Zeichnung zu den Dummy-Knoten des gegebenen UPR korrespondieren.
Die wenigen existierenden Zeichenverfahren zur Realisierung von UPRs sind
sehr einfach und wurden ursprünglich entwickelt, um planare st-Graphen zu
zeichnen. Unser neues Verfahren stellt somit das erste Layoutverfahren dar,
das speziell im Hinblick auf die Realisierung von UPRs entworfen wurde. Es
bietet zwei wichtige Vorteile gegenüber dem etablierten Standardzeichenalgorithmus
von Sugiyama et al.: Die Zeichnungen besitzen wesentlich weniger
Kreuzungen, was zur deutlichen Verbesserung der Lesbarkeit führt. Ferner
sind sie strukturierter und machen einen aufgeräumteren Eindruck