Methodology to resolve the transport equation with the discrete ordinates code TORT into the IPEN/MB-01 reactor

This is an Accepted Manuscript of an article published by Taylor & Francis in International Journal of Computer Mathematics in 2014, available online: http://www.tandfonline.com/10.1080/00207160.2013.799668Resolution of the steady-state Neutron Transport Equation in a nuclear pool reactor is usually achieved by means of two different numerical methods: Monte Carlo (stochastic) and Discrete Ordinates (deterministic). The Discrete Ordinates method solves the Neutron Transport Equation for a set of selected directions, obtaining a set of directional equations and solutions for each equation which are the angular flux. In order to deal with the energy dependence, an energy multi-group approximation is commonly performed, obtaining a set of equations depending on the number of energy groups. In addition, spatial discretization is also required and the problem is solved by sweeping the geometry mesh. However, special cross-sections are required due to the energy and directional discretization, thus a methodology based on NJOY99 code capabilities has been used. Finally, in order to demonstrate the capability of this method, the 3D discrete ordinates code TORT has been applied to resolve the IPEN/MB-01 reactor.The authors wish to thank Departamento de Engenharia Nuclear da UFMG and Instituto de Pesquisas Energeticas e Nucleares for all data and support.Bernal García, Á.; Abarca Giménez, A.; Barrachina Celda, TM.; Miró Herrero, R. (2014). Methodology to resolve the transport equation with the discrete ordinates code TORT into the IPEN/MB-01 reactor. International Journal of Computer Mathematics. 91(1):113-123. doi:10.1080/00207160.2013.799668S113123911Rhoades, W. A., & Simpson, D. B. (1997). The TORT three-dimensional discrete ordinates neutron/photon transport code (TORT version 3). doi:10.2172/58226

Development of a 3D Modal Neutron Code with the Finite Volume Method for the Diffusion and Discrete Ordinates Transport Equations. Application to Nuclear Safety Analyses

El principal objetivo de esta tesis es el desarrollo de un Método Modal para resolver dos ecuaciones: la Ecuación de la Difusión de Neutrones y la de las Ordenadas Discretas del Transporte de Neutrones. Además, este método está basado en el Método de Volúmenes Finitos para discretizar las variables espaciales. La solución de estas ecuaciones proporciona el flujo de neutrones, que está relacionado con la potencia que se produce en los reactores nucleares, por lo que es un factor fundamental para los Análisis de Seguridad Nuclear. Por una parte, la utilización del Método Modal está justificada para realizar análisis de inestabilidades en reactores. Por otra parte, el uso del Método de Volúmenes Finitos está justificado por la utilización de este método para resolver las ecuaciones termohidráulicas, que están fuertemente acopladas con la generación de energía en el combustible nuclear. En primer lugar, esta tesis incluye la definición de estas ecuaciones y los principales métodos utilizados para resolverlas. Además, se introducen los principales esquemas y características del Método de Volúmenes Finitos. También se describen los principales métodos numéricos para el Método Modal, que incluye tanto la solución de problemas de autovalores como la solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias dependientes del tiempo. A continuación, se desarrollan varios algoritmos del Método de Volúmenes Finitos para el Estado Estacionario de la Ecuación de la Difusión de Neutrones. Se consigue desarrollar una formulación multigrupo, que permite resolver el problema de autovalores para cualquier número de grupos de energía, incluyendo términos de upscattering y de fisión en varios grupos de energía. Además, se desarrollan los algoritmos para realizar la computación en paralelo. La solución anterior es la condición inicial para resolver la Ecuación de Difusión de Neutrones dependiente del tiempo. En esta tesis se utiliza un Método Modal, que transforma el Sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias en uno de mucho menor tamaño, que se resuelve con el Método de la Matriz Exponencial. Además, se ha desarrollado un método rápido para estimar el flujo adjunto a partir del directo, ya que se necesita en el Método Modal. Por otra parte, se ha desarrollado un algoritmo que resuelve el problema de autovalores de la Ecuación del Transporte de Neutrones. Este algoritmo es para la formulación de Ordenadas Discretas y el Método de Volúmenes Finitos. En concreto, se han aplicado dos tipos de cuadraturas para las Ordenadas Discretas y dos esquemas de interpolación para el Método de Volúmenes Finitos. Finalmente, se han aplicado estos métodos a diferentes tipos de reactores nucleares, incluyendo reactores comerciales. Se han evaluado los valores de la constante de multiplicación y de la potencia, ya que son las variables fundamentales en los Análisis de Seguridad Nuclear. Además, se ha realizado un análisis de sensibilidad de diferentes parámetros como la malla y métodos numéricos. En conclusión, se obtienen excelentes resultados, tanto en precisión como en coste computacional.The main objective of this thesis is the development of a Modal Method to solve two equations: the Neutron Diffusion Equation and the Discrete Ordinates Neutron Transport Equation. Moreover, this method uses the Finite Volume Method to discretize the spatial variables. The solution of these equations gives the neutron flux, which is related to the power produced in nuclear reactors; thus, the neutron flux is a paramount variable in Nuclear Safety Analyses. On the one hand, the use of Modal Methods is justified because one uses them to perform instability analyses in nuclear reactors. On the other hand, it is worth using the Finite Volume Method because one uses it to solve thermalhydraulic equations, which are strongly coupled with the energy generation in the nuclear fuel. First, this thesis defines the equations mentioned above and the main methods to solve these equations. Furthermore, the thesis describes the major schemes and features of the Finite Volume Method. In addition, the author also introduces the major methods used in the Modal Method, which include the methods used to solve the eigenvalue problem, as well as those used to solve the time dependent Ordinary Differential Equations. Next, the author develops several algorithms of the Finite Volume Method applied to the Steady State Neutron Diffusion Equation. In addition, the thesis includes an improvement of the multigroup formulation, which solves problems involving upscattering and fission terms in several energy groups. Moreover, the author optimizes the algorithms to do calculations with parallel computing. The previous solution is used as initial condition to solve the time dependent Neutron Diffusion Equation. The author uses a Modal Method to do so, which transforms the Ordinary Differential Equations System into a smaller system that is solved by using the Exponential Matrix Method. Furthermore, the author developed a computationally efficient method to estimate the adjoint flux from the forward one, because the Modal Method uses the adjoint flux. Additionally, the thesis also presents an algorithm to solve the eigenvalue problem of the Neutron Transport Equation. This algorithm uses the Discrete Ordinates formulation and the Finite Volume Method. In particular, the author uses two types of quadratures for the Discrete Ordinates and two interpolation schemes for the Finite Volume Method. Finally, the author tested the developed methods in different types of nuclear reactors, including commercial ones. The author checks the accuracy of the values of the crucial variables in Nuclear Safety Analyses, which are the multiplication factor and the power distribution. Furthermore, the thesis includes a sensitivity analysis of several parameters, such as the mesh and numerical methods. In conclusion, excellent results are reported in both accuracy and computational cost.El principal objectiu d'esta tesi és el desenvolupament d'un Mètode Modal per a resoldre dos equacions: l'Equació de Difusió de Neutrons i la de les Ordenades Discretes del Transport de Neutrons. A més a més, este mètode està basat en el Mètode de Volums Finits per a discretitzar les variables espacials. La solució d'estes equacions proporcionen el flux de neutrons, que està relacionat amb la potència que es produïx en els reactors nuclears; per tant, el flux de neutrons és un factor fonamental en els Anàlisis de Seguretat Nuclear. Per una banda, la utilització del Mètode Modal està justificada per a realitzar anàlisis d'inestabilitats en reactors. Per altra banda, l'ús del Mètode de Volums Finits està justificat per l'ús d'este mètode per a resoldre les equacions termohidràuliques, que estan fortament acoblades amb la generació d'energia en el combustible nuclear. En primer lloc, esta tesi inclou la definició d'estes equacions i els principals mètodes utilitzats per a resoldre-les. A més d'això, s'introduïxen els principals esquemes i característiques del Mètode de Volums Finits. Endemés, es descriuen els principals mètodes numèrics per al Mètode Modal, que inclou tant la solució del problema d'autovalors com la solució d'Equacions Diferencials Ordinàries dependents del temps. A continuació, es desenvolupa diversos algoritmes del Mètode de Volums Finits per a l'Estat Estacionari de l'Equació de Difusió de Neutrons. Es conseguix desenvolupar una formulació multigrup, que permetre resoldre el problema d'autovalors per a qualsevol nombre de grups d'energia, incloent termes d' upscattering i de fissió en diversos grups d'energia. A més a més, es desenvolupen els algoritmes per a realitzar la computació en paral·lel. La solució anterior és la condició inicial per a resoldre l'Equació de Difusió de Neutrons dependent del temps. En esta tesi s'utilitza un Mètode Modal, que transforma el Sistema d'Equacions Diferencials Ordinàries en un problema de menor tamany, que es resol amb el Mètode de la Matriu Exponencial. Endemés, s'ha desenvolupat un mètode ràpid per a estimar el flux adjunt a partir del directe, perquè es necessita en el Mètode Modal. Per altra banda, s'ha desenvolupat un algoritme que resol el problema d'autovalors de l'Equació de Transport de Neutrons. Este algoritme és per a la formulació d'Ordenades Discretes i el Mètode de Volums Finits. En concret, s'han aplicat dos tipos de quadratures per a les Ordenades Discretes i dos esquemes d'interpolació per al Mètode de Volums Finits. Finalment, s'han aplicat estos mètodes a diversos tipos de reactors nuclears, incloent reactors comercials. S'han avaluat els valor de la constat de multiplicació i de la potència, perquè són variables fonamentals en els Anàlisis de Seguretat Nuclear. Endemés, s'ha realitzat un anàlisi de sensibilitat de diversos paràmetres com la malla i mètodes numèrics. En conclusió, es conseguix obtenir excel·lents resultats, tant en precisió com en cost computacional.Bernal García, Á. (2018). Development of a 3D Modal Neutron Code with the Finite Volume Method for the Diffusion and Discrete Ordinates Transport Equations. Application to Nuclear Safety Analyses [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/112422TESI

Advanced computational engineering

This is an author's accepted manuscript of an article published in “International Journal of Computer Mathematics"; Volume 91, Issue 1, 2014; copyright Taylor & Francis; available online at: http://dx.doi.org/10.1080/00207160.2014.880256It is with pleasure that we offer the readers of the International Journal of Computer Mathematics this special issue consisting of some of the most significant contributions to computational and mathematical methods with advanced applications in engineering presented at the International Conference on Mathematical Modelling in Engineering & Human Behaviour 2012, held at the Instituto Universitario de Matemática, Multidisciplinar, Polytechnic City of Innovation in Valencia, Spain, September 4–7, 2012, cf. http://jornadas.imm.upv.es/2012/Ehrhardt, M.; Jódar Sánchez, LA.; Villanueva Micó, RJ. (2014). Advanced computational engineering. International Journal of Computer Mathematics. 91(1):1-3. doi:10.1080/00207160.2014.880256S13911Aznar, F., Pujol, M. J., Sempere, M., & Rizo, R. (2013). A macroscopic model for high intensity radiofrequency signal detection in swarm robotics systems. International Journal of Computer Mathematics, 91(1), 32-41. doi:10.1080/00207160.2013.771180Bernal, A., Abarca, A., Barrachina, T., & Miró, R. (2013). Methodology to resolve the transport equation with the discrete ordinates code TORT into the IPEN/MB-01 reactor. International Journal of Computer Mathematics, 91(1), 113-123. doi:10.1080/00207160.2013.799668Castro, M. A., Rodríguez, F., Cabrera, J., & Martín, J. A. (2013). Difference schemes for time-dependent heat conduction models with delay. International Journal of Computer Mathematics, 91(1), 53-61. doi:10.1080/00207160.2013.779371Cornolti, L., Lucchini, T., Montenegro, G., & D’Errico, G. (2013). A comprehensive Lagrangian flame–kernel model to predict ignition in SI engines. International Journal of Computer Mathematics, 91(1), 157-174. doi:10.1080/00207160.2013.829213García-Oliver, J. M., Novella, R., Pastor, J. M., & Winklinger, J. F. (2013). Evaluation of combustion models based on tabulated chemistry and presumed probability density function approach for diesel spray simulation. International Journal of Computer Mathematics, 91(1), 14-23. doi:10.1080/00207160.2013.770844Gibert, K. (2013). Mixed intelligent-multivariate missing imputation. International Journal of Computer Mathematics, 91(1), 85-96. doi:10.1080/00207160.2013.783209González-Pintor, S., Ginestar, D., & Verdú, G. (2013). Preconditioning the solution of the time-dependent neutron diffusion equation by recycling Krylov subspaces. International Journal of Computer Mathematics, 91(1), 42-52. doi:10.1080/00207160.2013.771181Guardiola, C., Pla, B., Blanco-Rodríguez, D., & Reig, A. (2013). Modelling driving behaviour and its impact on the energy management problem in hybrid electric vehicles. International Journal of Computer Mathematics, 91(1), 147-156. doi:10.1080/00207160.2013.829567Montoliu, C., Ferrando, N., Cerdá, J., & Colom, R. J. (2013). Application of the level set method for the visual representation of continuous cellular automata oriented to anisotropic wet etching. International Journal of Computer Mathematics, 91(1), 124-134. doi:10.1080/00207160.2013.801464Montorfano, A., Piscaglia, F., & Onorati, A. (2013). Wall-adapting subgrid-scale models to apply to large eddy simulation of internal combustion engines. International Journal of Computer Mathematics, 91(1), 62-70. doi:10.1080/00207160.2013.783207Ramos-Martínez, E., Herrera, M., Izquierdo, J., & Pérez-García, R. (2013). Ensemble of naïve Bayesian approaches for the study of biofilm development in drinking water distribution systems. International Journal of Computer Mathematics, 91(1), 135-146. doi:10.1080/00207160.2013.808335Salvador, F. J., Martínez-López, J., Romero, J.-V., & Roselló, M.-D. (2013). Study of the influence of the needle eccentricity on the internal flow in diesel injector nozzles by computational fluid dynamics calculations. International Journal of Computer Mathematics, 91(1), 24-31. doi:10.1080/00207160.2013.770483Sastre, J., Ibáñez, J., Ruiz, P., & Defez, E. (2013). Accurate and efficient matrix exponential computation. International Journal of Computer Mathematics, 91(1), 97-112. doi:10.1080/00207160.2013.791392Serrano, J. R., Arnau, F. J., Piqueras, P., & García-Afonso, O. (2013). Application of the two-step Lax and Wendroff FCT and the CE-SE method to flow transport in wall-flow monoliths. International Journal of Computer Mathematics, 91(1), 71-84. doi:10.1080/00207160.2013.783206Zhyrova, A., & Štys, D. (2013). Construction of the phenomenological model of Belousov–Zhabotinsky reaction state trajectory. International Journal of Computer Mathematics, 91(1), 4-13. doi:10.1080/00207160.2013.76633